Олимпиадные задачи по теме «Действительные числа» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Действительные числа
НазадРешите неравенство: [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.
а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что {<i>a</i>} + {<sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>} = 1.
б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?
Последовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, ..., <i>x<sub>n</sub></i> = [1,5<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub>].
Доказать, что последовательность <i>y<sub>n</sub></i> = (–1)<i><sup>x<sub>n</sub></sup></i> непериодическая.
Решить уравнение <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.
Доказать, что если <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то <i>p – kq</i> есть делитель числа <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.
Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $${x} > {x^2} > {x^3} > \ldots > {x^{100}}?$$ (Здесь ${x}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)
На доску записали числа $1$, $2$, ..., $100$. Далее за ход стирают любые два числа $a$ и $b$, где $a\geqslant b>0$, и пишут вместо них одно число $[a/b]$. После $99$ ходов на доске останется одно число. Каким наибольшим оно может быть? (Напомним, что $[x]$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)
На часах три стрелки, каждая вращается в ту же сторону, что и обычно, с постоянной ненулевой, но, возможно, неправильной скоростью. Утром длинная и короткая стрелки совпали. Ровно через 3 часа совпали длинная и средняя стрелки. Еще ровно через 4 часа совпали короткая и средняя стрелки. Обязательно ли когда-нибудь совпадут все три стрелки?
Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)
Существуют ли нецелые числа <i>x</i> и <i>y</i>, для которых {<i>x</i>}{<i>y</i>} = {<i>x + y</i>}?
Число <i>x</i> таково, что обе суммы <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i> и <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i> – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Найдутся ли такие функции <i>p</i>(<i>x</i>) и <i>q</i>(<i>x</i>), что <i>p</i>(<i>x</i>) – чётная функция, а <i>p</i>(<i>q</i>(<i>x</i>)) – нечётная функция (отличная от тождественно нулевой)?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?
У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65611/problem_65611_img_2.gif">
Назовём треугольник <i>рациональным</i>, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника <i>рациональной</i>, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.
Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все три числа <i>x + yz, y + zx</i> и <i>z + xy</i> рациональны, а <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1. Докажите, что число <i>xyz</i>² также рационально.
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, и <i>a < b</i>. Определим две последовательности чисел {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b</i><sub>n</sub>} формулами: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a,   b</i><sub>0</sub> = <i>b, a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61323/problem_61323_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="51" align="MIDDLE" border=&quo...
Пусть <i>a</i> и <i>b</i> – два положительных числа, причём <i>a < b</i>. Построим по этим числам две последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} и {<i>b<sub>n</sub></i>} по правилам: <div align="CENTER"><i>a</i><sub>0</sub> = <i>a</i>, <i>b</i><sub>0</sub> = <i>b</i>, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="53" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61322/problem_61322_img_2.gif">, <i>b</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <img width="60" height="...
Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.
При каких натуральных <i>a</i> и <i>b</i> число log<i><sub>a</sub>b</i> будет рациональным?
Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении а) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_3.gif">)<sup>100</sup>; б) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_4.gif">)<sup>300</sup>...
Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что степень a<sup>b</sup>- число рациональное?