Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечные разности» - сложность 3-5 с решениями

<b>Дискретная теорема Лиувилля.</b>Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>) функция, то есть существует положительная константа<i>M</i>такая, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \forall$(<i>x</i>, <i>y</i>) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$²    | <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)| $\displaystyle \leqslant$ <i>M</i>. </div>Докажите, что функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) равна константе.

Для каких натуральных<i>n</i>в выражении<div align="CENTER"> ±1²±2²±3²±...±<i>n</i>² </div>можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Докажите, что при всех натуральных <i>n</i> число   <i>f</i> (<i>n</i>) = 2^{2<i>n</i>–1} – 9<i>n</i>² + 21<i>n</i> – 14   делится на 27.

  а) Пусть <i>q</i> – натуральное число и функция   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cq^x</i> + <i>a_nxⁿ</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₀  принимает целые значения при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.

Докажите, что при любом натуральном <i>x</i> число  <i>f</i>(<i>x</i>) также будет целым.

  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на некоторое целое  <i>m</i> ≥ 1  при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.  Докажите, что  &l...

Докажите, что если многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> принимает целые значения в точках  <i>x</i> = 0, 1, ..., <i>n</i>,  то он принимает целые значения во всех целых точках.

Пусть многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> принимает целые значения в точках  <i>x</i> = 0, 1, ..., <i>n</i>.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61449/problem_61449_img_2.gif">   где  <i>d</i>₀, <i>d</i>₁, ..., <i>d_n</i>  – некоторые целые числа.

а) Докажите, что для любого многочлена <i>f</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> существует единственное представление его в виде <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61448/problem_61448_img_2.gif"></div>Биномиальный коэффициент   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61448/problem_61448_img_3.gif">   интерпретируется как многочлен от переменной<i>x</i>. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.б) Докажите, что коэффициенты  <i>d</i>₀, <i>d</i>₁, ..., <i>d_n</i>  в этом представлении вычисляются по фор...

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы: а)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>²<i>q</i>^{k - 1}; б)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>sin <i>kx</i>; в)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>²cos <i>kx</i>.

Найдите : <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)}}$;    </td> <td align="LEFT">д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$${\dfrac{1}{k^2-1}}$;    </td> <td align="LEFT">е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{k-1}{k!}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$;    </td> <td align="LEFT"> ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>! <i>k</i>.</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{(k-1),2^k}{k(k+1)}}$;&lt...

Пусть числа  <i>y</i>₀, <i>y</i>₁, ..., <i>y_n</i>  таковы, что для любого многочлена  <i>f</i> (<i>x</i>) степени  <i>m < n</i>  справедливо равенство:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61440/problem_61440_img_2.gif">     (*)

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61440/problem_61440_img_3.gif"> ,   где λ – некоторое фиксированное число.

Докажите, что для всех<i>m</i>в промежутке1$\leqslant$<i>m</i><<i>n</i>выполняется равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}$(- 1)^k<i>k</i>^m<i>C</i>_n^k = 0. </div>

Вычислите сумму<div align="CENTER"> $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$<i>C</i>_n^k(- 1)^k$\displaystyle \left(\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right.$1 - $\displaystyle {\dfrac{k}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right)^{n}_{}$. </div>

Докажите равенство<div align="CENTER"> <i>f</i> (<i>x</i> + <i>n</i>) = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$<i>C</i>_n^k$\displaystyle \Delta^{k}_{}$<i>f</i> (<i>x</i>). </div>

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>m</i> существует единственный многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) степени  <i>m</i> + 1 , для которого  Δ<i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>x</i>)  и  <i>Q</i>(0) = 0.