Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания» для 8 класса - сложность 2-4 с решениями
параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания
НазадНа сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
У игрока в преферанс оказалось 4 козыря, а еще 4 находятся на руках у двух его противников. Какова вероятность того, что козыри лягут а) 2 : 2; б) 3 : 1; в) 4 : 0?
Пишется наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 5?
В разложении (<i>x + y</i>)<sup><i>n</i></sup> по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите <i>x, y</i> и <i>n</i>.
120 одинаковых шаров плотно уложены в виде правильной треугольной пирамиды. Сколько шаров лежит в основании?
Докажите равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60414/problem_60414_img_2.gif">
Вычислите суммы: a) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">
При каких значениях <i>n</i> все коэффициенты в разложении бинома Ньютона (<i>a + b</i>)<sup><i>n</i></sup> нечётны?
При игре в преферанс каждому из трёх игроков раздают по 10 карт, а две карты кладут в прикуп. Сколько различных раскладов возможно в этой игре? (Считаются возможные раздачи без учета того, что каждые 10 карт достаются конкретному игроку.)
Имеется множество <i>C</i>, состоящее из <i>n</i> элементов. Сколькими способами можно выбрать в <i>C</i> два подмножества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы
а) множества <i>A</i> и <i>B</i> не пересекались;
б) множество <i>A</i> содержалось бы в множестве <i>B</i>?
Сколькими способами можно разделить на команды по 6 человек для игры в волейбол группу:
а) из 12; б) из 24 спортсменов?
Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых, параллельных его сторонам; каждый ряд состоит из <i>m</i> прямых.
Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?
В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на выпуклые многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с самым большим числом сторон.
Сколько сторон он может иметь?
Докажите, что для любого натурального <i>a</i> найдётся такое натуральное <i>n</i>, что все числа <i>n</i> + 1, <i>n<sup>n</sup></i> + 1, <i>n<sup>n<sup>n</sup></sup></i> + 1, ... делятся на <i>a</i>.
Докажите справедливость формулы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">
Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?
На двух параллельных прямых <i>a</i> и <i>b</i> выбраны точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>m</sub></i> и <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, ..., <i>B<sub>n</sub></i> соответственно и проведены все отрезки вида <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub></i>
(1 ≤ <i>i</i> ≤ <i>m</i>, 1 ≤ <i>j</i> ≤ <i>n</i>). Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?
Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек.
Сколькими способами можно составить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один математик?
а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.
Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров
а) так, чтобы ни один ящик не оказался пустым?
б) если некоторые ящики могут оказаться пустыми)?