Олимпиадные задачи из источника «глава 8. Алгебра + геометрия» для 11 класса - сложность 1-5 с решениями

Пусть числа<i>u</i>_kопределены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -<i>u</i>₁+<i>u</i>₂-<i>u</i>₃+...+<i>u</i>_2n= 2ⁿ(1 - cos <i>x</i>)(1 - cos 3<i>x</i>)...(1 - cos(2<i>n</i>- 1)<i>x</i>); б)1 -<i>u</i>₁²+<i>u</i>₂²-<i>u</i>₃²+...+<i>u</i>_2n²= (- 1)ⁿ${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+...

Пусть<div align="CENTER"> <i>u</i>_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$. </div>Докажите, что числа<i>u</i>_kможно представить в виде многочлена от cos <i>x</i>.

<b>Формулы Рамануджана.</b>Докажите следующие тождества: а)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$; б)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$.

<b>Вторая теорема косинусов для трехгранного угла и аналог формулы Герона.</b>Докажите, что из системы (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>) следуют равенства<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \begin{array}{c} \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos \alpha,\\cos B=-\cos A\cos C+\sin A\sin C\cos \beta,\\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos \gamma,\ \hbox{\rm tg\ }\dfrac{A+B+ C-\pi}{4}=\sqrt{\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\alpha}{2} \hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\beta}{2}\hbox{\rm tg\ }\dfrac{p-\gamma}{2}}, \end{array} \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER...

<b>Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла.</b>Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и противолежащими им двугранными углами<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>. Для него справедлива теорема синусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.7</a>) и две теоремы косинусов (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161247">8.6</a>), (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161248">8.8</a>) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства<div align="CENTER"> <!...

Докажите, что числа Фибоначчи{<i>F</i>_n} удовлетворяют соотношению<div align="CENTER"> <!-- MATH \begin{equation} \hbox{\rm arctg\ }F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}=\hbox{\rm arctg\ }F_{2n+1}. \end{equation} --> <table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"><i>arcctg</i> <i>F</i>_2n - <i>arcctg</i> <i>F</i>_{2n + 2} = <i>arcctg</i> <i>F</i>_{2n + 1}.</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (8.2)</td></tr> </table></div>&lt...

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$, </div>если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,...,<i>a</i>_{n + 1}образуют арифметическую прогрессию с разностью<i>r</i>(<i>a</i>₁> 0,<i>r</i>> 0).

Найдите сумму:<div align="CENTER"> <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot 3x^2}}$ +...+ <i>arctg</i> $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$    (<i>x</i> > 0). </div>

Докажите, что если сумма<div align="CENTER"> <i>a</i>₁cos($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + <i>x</i>) + <i>a</i>₂cos($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + <i>x</i>) +...+ <i>a</i>_ncos($\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + <i>x</i>) </div>при<i>x</i>= 0 и<i>x</i>=<i>x</i>₁$\ne$<i>k</i>$\pi$(<i>k</i> — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех<i>x</i>.

Докажите, что функцияcos$\sqrt{x}$не является периодической.

Упростите выражения: а)sin${\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; б)sin${\dfrac{\pi}{2n}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$; в)cos${\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; г)cos${\dfrac{\pi}{2n}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.

На плоскости расположены 4 прямые общего положения. Каждым трем прямым поставим в соответствие окружность, проходящую через точки их пересечения. Докажите, что 4 полученных окружности проходят через одну точку.

Пусть <i>u</i> – точка на единичной окружности  <i>z</i><img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61197/problem_61197_img_2.gif"> = 1  и <i>u</i>₁, <i>u</i>₂, <i>u</i>₃ – основания перпендикуляров, опущенных из <i>u</i> на стороны <i>a</i>₂<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₃, <i>a</i>₁<i>a</i>₂ вписанного в эту окружностьтреугольника <i>a</i>&lt...

Докажите, что точка  <i>m</i> = ¹/₃ (<i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃)  является точкой пересечения медиан треугольника <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃.

Точки <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃ расположены на единичной окружности  <i>z<span style="text-decoration: overline;">z</span></i> = 1.

Докажите, что точка  <i>h = a</i>₁ + <i>a</i>₂ + <i>a</i>₃  является ортоцентром треугольника с вершинами в точках <i>a</i>₁, <i>a</i>₂ и <i>a</i>₃.

На плоскости даны три окружности <i>S</i>₁, <i>S</i>₂ и <i>S</i>₃. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке <i>Q</i>, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.

Точка <i>Q</i> называется <i>радикальным центром</i> окружностей <i>S</i>₁, <i>S</i>₂ и <i>S</i>₃.

Докажите, что геометрическое место точек <i>M</i>, cтепень которых относительно окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ одинакова, является прямой.

Такая прямая называется <i>радикальной осью</i> окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Докажите, что cтепень точки <i>w</i> относительно окружности  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61190/problem_61190_img_2.gif">

Пусть уравнение некоторой прямой или окружности имеет вид  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0.  Пусть образ этой линии при отображении  <img width="100" align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61189/problem_61189_img_2.gif">  задается уравнением  <i>A'z<span style="text-decoration: overline;">z</span> + B'z – <span style="text-decoration: overline;">B'</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C'</i>...

Докажите, что инверсия переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.

Представьте в виде композиции дробно-линейного отображения   <i>w</i> = <img width="37" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61187/problem_61187_img_2.gif">  и комплексного сопряжения   <i>w = <span style="text-decoration: overline;">z</span></i>  инверсию относительно окружности

  а) с центром <i>i</i> и радиусом <i>R</i> = 1;

  б) с центром  <i>Re</i>^<i>i</i>φ  и радиусом <i>R</i>;

  в) с центром <i>z</i>₀ и радиусом <i>R</i>.

Докажите, что отображение  <i>w</i> = <img width="14" height="34" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61186/problem_61186_img_2.gif">  является инверсией относительно единичной окружности.

Докажите, что уравнение  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0  при отображениях  <i>w = z + u</i>  и  <i>w = ^R</i>/_<i>z</i>  переходит в уравнение такого же вида. Получите из этого круговое свойство дробно-линейных отображений (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161183">161183</a>).

Докажите, что уравнение окружности (или прямой) на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде  <i>Az<span style="text-decoration: overline;">z</span> + Bz – <span style="text-decoration: overline;">B</span> <span style="text-decoration: overline;">z</span> + C</i> = 0,  где <i>A</i> и <i>C</i> – чисто мнимые числа.

Докажите, что дробно-линейное отображение переводит каждую окружность или прямую линию снова в окружность или прямую линию.