Олимпиадные задачи из источника «глава 10. Неравенства для элементов треугольника» для 2-8 класса - сложность 1-2 с решениями

<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>a</i>+<i>b</i><<i>c</i>+<i>h</i>_c.

<i>ABC</i>- прямоугольный треугольник с прямым углом<i>C</i>. Докажите, что <i>c</i>ⁿ><i>a</i>ⁿ+<i>b</i>ⁿпри <i>n</i>> 2.

В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. В области, ограниченной отрезками <i>AB, AC</i> и меньшей дугой <i>BC</i>, расположен отрезок. Докажите, что его длина не превышает <i>AB</i>.

а) Внутри треугольника <i>ABC</i>расположен отрезок <i>MN</i>. Докажите, что длина <i>MN</i>не превосходит наибольшей стороны треугольника. б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок <i>MN</i>. Докажите, что длина <i>MN</i>не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.

Докажите, что <i>rr</i>_c$\leq$<i>c</i>²/4.

Докажите, что ${\frac{9r}{2S}}$$\leq$${\frac{1}{a}}$+${\frac{1}{b}}$+${\frac{1}{c}}$$\leq$${\frac{9R}{4S}}$.

Докажите, что <i>h</i>_a+<i>h</i>_b+<i>h</i>_c$\geq$9<i>r</i>.

Докажите, что ${\frac{1}{2r}}$<${\frac{1}{h_a}}$+${\frac{1}{h_b}}$<${\frac{1}{r}}$.

В треугольнике <i>ABC</i>высота <i>AM</i>не меньше <i>BC</i>, а высота <i>BH</i>не меньше <i>AC</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.

Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.

Периметры треугольников <i>ABM</i>,<i>BCM</i>и <i>ACM</i>, где <i>M</i> — точка пересечения медиан треугольника <i>ABC</i>, равны. Докажите, что треугольник <i>ABC</i>правильный.

Медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i>₁<i>MB</i>₁<i>C</i>описанный, то <i>AC</i>=<i>BC</i>.

Докажите, что если <i>a</i> > <i>b</i>, то <i>m</i>_a<<i>m</i>_b.