Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 8-9 класса - сложность 3 с решениями

Решите с помощью псевдоскалярного произведения задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156779">4.29</a>, б.

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Три бегуна <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника<i>ABC</i>равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

Четырехугольник<i>ABCD</i>вписанный. Пусть <i>H</i>_a — ортоцентр треугольника<i>BCD</i>,<i>M</i>_a — середина отрезка<i>AH</i>_a; точки <i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dопределяются аналогично. Докажите, что точки <i>M</i>_a,<i>M</i>_b,<i>M</i>_cи <i>M</i>_dсовпадают.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i>_BOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + <i>S</i>_AOC^.$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + <i>S</i>_AOB^.$\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$. </div>

Дано восемь вещественных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>,<i>e</i>,<i>f</i>,<i>g</i>,<i>h</i>. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел<i>ac</i>+<i>bd</i>,<i>ae</i>+<i>bf</i>,<i>ag</i>+<i>bh</i>,<i>ce</i>+<i>df</i>,<i>cg</i>+<i>dh</i>,<i>eg</i>+<i>fh</i>неотрицательно.

Точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_nлежат на окружности с центром <i>O</i>, причем$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Докажите, что для любой точки <i>X</i>справедливо неравенство<i>XA</i>₁+...+<i>XA</i>_n$\ge$<i>nR</i>, где <i>R</i> — радиус окружности.

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>таковы, что для любой точки <i>M</i>числа($\overrightarrow{MA}$,$\overrightarrow{MB}$) и ($\overrightarrow{MC}$,$\overrightarrow{MD}$) различны. Докажите, что$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DB}$.

Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. Пусть<i>u</i>=<i>AD</i>²,<i>v</i>=<i>BD</i>²,<i>w</i>=<i>CD</i>²,<i>U</i>=<i>BD</i>²+<i>CD</i>²-<i>BC</i>²,<i>V</i>=<i>AD</i>²+<i>CD</i>²-<i>AC</i>²,<i>W</i>=<i>AD</i>²+<i>BD</i>²-<i>AB</i>². Докажите, что<i>uU</i>²+<i>vV&l...

Пусть<b>a</b>₁,...,<b>a</b>_n — векторы сторон<i>n</i>-угольника,$\varphi_{ij}^{}$=$\angle$(<b>a</b>_i,<b>a</b>_j). Докажите, что<i>a</i>₁²=<i>a</i>₂²+...+<i>a</i>_n²+ 2$\sum\limits_{i>j>1}^{}$<i>a</i>_i<i>a</i>_jcos$\varphi_{ij}^{}$, где<i>a</i>_i= |<b>a</b>_i|.

Пусть<i>A</i>₁...<i>A</i>_n— правильный<i>n</i>-угольник,<i>X</i>— произвольная точка. Рассмотрим проекции<i>X</i>₁, ...,<i>X</i>_nточки<i>X</i>на прямые<i>A</i>₁<i>A</i>₂, ...,<i>A</i>_n<i>A</i>₁. Пусть<i>x</i>_i— длина отрезка<i>A</i>_i<i>X</i>_iс учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи<i>A</i>_i<i>X</i><sub>i</su...

Докажите, что<i>OH</i>²=<i>R</i>²(1 - 8 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$).

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника<i>ABC</i>, а точка <i>H</i>обладает тем свойством, что$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$. Докажите, что <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

а) Пусть<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i> — произвольные точки плоскости. Докажите, что($\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{CD}$) + ($\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{AD}$) + ($\overrightarrow{CA}$,$\overrightarrow{BD}$) = 0. б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть <i>E</i>и <i>F</i> — середины сторон<i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника<i>ABCD</i>,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины отрезков<i>AF</i>,<i>CE</i>,<i>BF</i>и <i>DE</i>. Докажите, что<i>KLMN</i> — параллелограмм.