Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Момент инерции» для 8-11 класса - сложность 4-5 с решениями
параграф 3. Момент инерции
НазадТочки<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>лежат на одной окружности, а <i>M</i> — их центр масс. Прямые<i>MA</i><sub>1</sub>,...,<i>MA</i><sub>n</sub>пересекают эту окружность в точках<i>B</i><sub>1</sub>,...,<i>B</i><sub>n</sub>(отличных от<i>A</i><sub>1</sub>,...,<i>A</i><sub>n</sub>). Докажите, что<i>MA</i><sub>1</sub>+...+<i>MA</i><sub>n</sub>$\le$<i>MB</i><sub>1</sub>+...+<i>MB</i><sub>n</sub>.
Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>P</i>. Пусть <i>d</i><sub>a</sub>,<i>d</i><sub>b</sub>и <i>d</i><sub>c</sub> — расстояния от точки <i>P</i>до сторон треугольника,<i>R</i><sub>a</sub>,<i>R</i><sub>b</sub>и <i>R</i><sub>c</sub> — расстояния от нее до вершин. Докажите, что<div align="CENTER"> 3(<i>d</i><sub>a</sub><sup>2</sup> + <i>d</i><sub>b</sub><sup>2</sup> + <i>d</i><sub>c</sub><sup>2</sup>)$\displaystyle \ge$(<i>R</i><sub>a</sub>sin <i>A</i>...
Внутри окружности радиуса <i>R</i>расположено <i>n</i>точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит<i>n</i><sup>2</sup><i>R</i><sup>2</sup>.
На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты такие точки <i>A</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>2</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>и <i>A</i><sub>2</sub>, что отрезки<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>,<i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>и <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что<i>PA</i><sub...