Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 3 с решениями
глава 4. Площадь
НазадИз середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.
Расстояния от точки <i>X</i>стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>до прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равны <i>d</i><sub>b</sub>и <i>d</i><sub>c</sub>. Докажите, что <i>d</i><sub>b</sub>/<i>d</i><sub>c</sub>=<i>BX</i><sup> . </sup><i>AC</i>/(<i>CX</i><sup> . </sup><i>AB</i>).
Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
Дан выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>. На стороне <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>взяты точки <i>B</i><sub>1</sub>и <i>D</i><sub>2</sub>, на стороне <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> — точки <i>B</i><sub>2</sub>и <i>D</i><sub>3</sub>и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>,...
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, $\varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь <i>S</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равна 2<i>R</i><sup>2</sup>sin <i>A</i>sin <i>B</i>sin$\varphi$.
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.
Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.
Отрезок <i>MN</i>, параллельный стороне <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>, делит его площадь пополам (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>). Длины отрезков, проведенных из точек <i>A</i>и <i>B</i>параллельно <i>CD</i>до пересечения с прямыми <i>BC</i>и <i>AD</i>, равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что <i>MN</i><sup>2</sup>= (<i>ab</i>+<i>c</i><sup>2</sup>)/2, где <i>c</i>=<i>CD</i>.
Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56772/problem_56772_img_2.gif" border="1"></div>
На стороне <i>AB</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>, а на стороне <i>CD</i> — точки <i>C</i><sub>1</sub>и <i>D</i><sub>1</sub>, причем <i>AA</i><sub>1</sub>=<i>BB</i><sub>1</sub>=<i>pAB</i>и <i>CC</i><sub>1</sub>=<i>DD</i><sub>1</sub>=<i>pCD</i>, где <i>p</i>< 0, 5. Докажите, что <i>S</i><sub>A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub></sub>/<i>S</i><sub>ABCD</sub>= 1 - 2<...
На сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что <i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>CN</i>:<i>ND</i>. Отрезки <i>AN</i>и <i>DM</i>пересекаются в точке <i>K</i>, а отрезки <i>BN</i>и <i>CM</i> — в точке <i>L</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>KMLN</sub>=<i>S</i><sub>ADK</sub>+<i>S</i><sub>BCL</sub>.
В прямоугольник <i>ABCD</i>вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину <i>K</i>на стороне <i>AB</i>. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника <i>ABCD</i>.
На продолжениях сторон <i>DA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>,<i>D</i><sub>1</sub>так, что $\overrightarrow{DA_1}$= 2$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{AB_1}$= 2$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC_1}$= 2$\overrightarrow{BC}$и $\overrightarrow{CD_1}$= 2$\overrightarrow{CD}$. Найдите площадь получившегося четырехугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>, если известно, что пл...