Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Площадь» - сложность 3-4 с решениями

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника. б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56814/problem_56814_img_2.gif" border="1"></div>

Стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>параллелограмма <i>ABCD</i>площади 1 разбиты на <i>n</i>равных частей, <i>AD</i>и <i>BC</i> — на <i>m</i>равных частей. а) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>а</i>. б) Точки деления соединены так, как показано на рис., <i>б</i>. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56813/problem_56813_img_2.gif" border="1"></div>

Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади исходного треугольника.

Медианы <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁треугольника <i>ABC</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что если четырехугольник <i>A</i>₁<i>BC</i>₁<i>M</i>описанный, то <i>AB</i>=<i>BC</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁и на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>K</i>и <i>L</i>так, что <i>AK</i>=<i>BC</i>₁и <i>AL</i>=<i>CB</i>₁. Докажите, что прямая <i>AO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, делит отрезок <i>KL</i>пополам.

На сторонах<i>BC</i>и<i>DC</i>параллелограмма<i>ABCD</i>выбраны точки<i>D</i>₁и<i>B</i>₁так, что<i>BD</i>₁=<i>DB</i>₁. Отрезки<i>BB</i>₁и<i>DD</i>₁пересекаются в точке<i>Q</i>. Докажите, что<i>AQ</i>— биссектриса угла<i>BAD</i>.

Докажите, что если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей (<i>прямая Гаусса</i>).

Через точку <i>M</i>, лежащую внутри параллелограмма <i>ABCD</i>, проведены прямые <i>PR</i>и <i>QS</i>, параллельные сторонам <i>BC</i>и <i>AB</i>(точки <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>и <i>S</i>лежат на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>соответственно). Докажите, что прямые <i>BS</i>,<i>PD</i>и <i>MC</i>пересекаются в одной точке.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса <i>r</i>, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше <i>r</i>.

Расстояния от точки <i>X</i>стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>до прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равны <i>d</i>_bи <i>d</i>_c. Докажите, что <i>d</i>_b/<i>d</i>_c=<i>BX</i>^.<i>AC</i>/(<i>CX</i>^.<i>AB</i>).

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.

Дан выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_n. На стороне <i>A</i>₁<i>A</i>₂взяты точки <i>B</i>₁и <i>D</i>₂, на стороне <i>A</i>₂<i>A</i>₃ — точки <i>B</i>₂и <i>D</i>₃и т. д. таким образом, что если построить параллелограммы <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁,...

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна <i>tg</i>$\varphi$^.|<i>a</i>²+<i>c</i>²-<i>b</i>²-<i>d</i>²|/4, где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и <i>d</i> — длины последовательных сторон, $\varphi$ — угол между диагоналями.

Четырехугольник <i>ABCD</i>вписан в окружность радиуса <i>R</i>, $\varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь <i>S</i>четырехугольника <i>ABCD</i>равна 2<i>R</i>²sin <i>A</i>sin <i>B</i>sin$\varphi$.

Кривая $\Gamma$делит квадрат на две части равной площади. Докажите, что на ней можно выбрать две точки <i>A</i>и <i>B</i>так, что прямая <i>AB</i>проходит через центр <i>O</i>квадрата.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>окружности <i>S</i>₁соединены дугой окружности <i>S</i>₂, делящей площадь круга, ограниченного <i>S</i>₁, на равные части. Докажите, что дуга <i>S</i>₂, соединяющая <i>A</i>и <i>B</i>, по длине больше диаметра <i>S</i>₁.

а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.

б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

Прямая <i>l</i> делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную <i>l</i>, в отношении, не превосходящем  1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/56788/problem_56788_img_2.gif">.

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Отрезок <i>MN</i>, параллельный стороне <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>, делит его площадь пополам (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>BC</i>и <i>AD</i>). Длины отрезков, проведенных из точек <i>A</i>и <i>B</i>параллельно <i>CD</i>до пересечения с прямыми <i>BC</i>и <i>AD</i>, равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что <i>MN</i>²= (<i>ab</i>+<i>c</i>²)/2, где <i>c</i>=<i>CD</i>.

На биссектрисе угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>A</i>₁так, что <i>AA</i>₁=<i>p</i>-<i>a</i>= (<i>b</i>+<i>c</i>-<i>a</i>)/2, и через точку <i>A</i>₁проведена прямая <i>l</i>_a, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые <i>l</i>_bи <i>l</i>_c, то треугольник <i>ABC</i>разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.

Через точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁разбивают треугольник <i>ABC</i>на четыре треугольника и три четырехугольника (рис.). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегающих к вершинам <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, равна площади четвертого треугольника.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56784/problem_56784_img_2.gif" border="1"></div>

Диагонали выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точке<i>O</i>;<i>P</i>и<i>Q</i>— произвольные точки. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{S_{AOP}}{S_{BOQ}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{ACP}}{S_{BDQ}}}$^.$\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}}$. </div>

Диаметр <i>PQ</i>и перпендикулярная ему хорда <i>RS</i>пересекаются в точке <i>A</i>. Точка <i>C</i>лежит на окружности, а точка <i>B</i> — внутри окружности, причем <i>BC</i>||<i>PQ</i>и <i>BC</i>=<i>RA</i>. Из точек <i>A</i>и <i>B</i>опущены перпендикуляры <i>AK</i>и <i>BL</i>на прямую <i>CQ</i>. Докажите, что <i>S</i>_ACK=<i>S</i>_BCL.