Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанная и описанная окружности» для 1-10 класса - сложность 1-2 с решениями
параграф 1. Вписанная и описанная окружности
НазадДокажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника <i>ABC</i>относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
Докажите, что сторона <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>видна из центра <i>O</i>вписанной окружности под углом 90<sup><tt>o</tt></sup>+$\angle$<i>A</i>/2, а из центра <i>O</i><sub>a</sub>вневписанной окружности под углом 90<sup><tt>o</tt></sup>-$\angle$<i>A</i>/2.
Пусть <i>O</i><sub>a</sub>,<i>O</i><sub>b</sub>и <i>O</i><sub>c</sub> — центры вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — основания высот треугольника <i>O</i><sub>a</sub><i>O</i><sub>b</sub><i>O</i><sub>c</sub>.
На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, причем <i>AC</i><sub>1</sub>=<i>AB</i><sub>1</sub>,<i>BA</i><sub>1</sub>=<i>BC</i><sub>1</sub>и <i>CA</i><sub>1</sub>=<i>CB</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub> — точки касания вписанной окружности со сторонами.