Олимпиадные задачи из источника «параграф 13. Точка Лемуана» для 3-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Докажите, что если отрезок<i>B</i>₁<i>C</i>₁антипараллелен стороне<i>BC</i>, то<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\bot$<i>OA</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности.

Отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, где точки <i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на лучах <i>AC</i>и <i>AB</i>, называют<i>антипараллельным</i>стороне <i>BC</i>, если $\angle$<i>AB</i>₁<i>C</i>₁=$\angle$<i>ABC</i>и $\angle$<i>AC</i>₁<i>B</i>₁=$\angle$<i>ACB</i>. Докажите, что симедиана <i>AS</i>делит пополам любой отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁, антипараллельный стороне <i>BC&lt...

Выразите длину симедианы <i>AS</i>через длины сторон треугольника <i>ABC</i>.

Прямые <i>AM</i>и <i>AN</i>симметричны относительно биссектрисы угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>(точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на прямой <i>BC</i>). Докажите, что <i>BM</i>^.<i>BN</i>/(<i>CM</i>^.<i>CN</i>) =<i>c</i>²/<i>b</i>². В частности, если <i>AS</i> — симедиана, то <i>BS</i>/<i>CS</i>=<i>c</i>²/<i>b</i>².