Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 4-8 класса - сложность 1-3 с решениями
глава 9. Геометрические неравенства
НазадКвадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.
Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.
Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.
На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
В параллелограмм <i>P</i><sub>1</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub>, а в параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>3</sub>, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i><sub>1</sub>. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i><sub>1</sub> не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i><sub>3</sub>.
Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.
Диагонали делят выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>на четыре треугольника. Пусть <i>P</i> — периметр четырехугольника <i>ABCD</i>, <i>Q</i> — периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что <i>PQ</i>> 4<i>S</i><sub>ABCD</sub>.
Пусть <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>BC</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ABCD</sub>< 4<i>S</i><sub>AMN</sub>.
Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.
Угол <i>A</i>четырехугольника <i>ABCD</i>тупой; <i>F</i> — середина стороны <i>BC</i>. Докажите, что 2<i>FA</i><<i>BD</i>+<i>CD</i>.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.
Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.
В трапеции <i>ABCD</i>углы при основании <i>AD</i>удовлетворяют неравенствам $\angle$<i>A</i><$\angle$<i>D</i>< 90<sup><tt>o</tt></sup>. Докажите, что тогда <i>AC</i>><i>BD</i>.
В четырехугольнике <i>ABCD</i>углы <i>A</i>и <i>B</i>равны, a $\angle$<i>D</i>>$\angle$<i>C</i>. Докажите, что тогда <i>AD</i><<i>BC</i>.
Внутри квадрата со стороной 1 расположена несамопересекающаяся ломаная длины 1000. Докажите, что найдется прямая, параллельная одной из сторон квадрата, пересекающая эту ломаную по крайней мере в 500 точках.
На основании <i>AD</i>трапеции <i>ABCD</i>нашлась точка <i>E</i>, обладающая тем свойством, что периметры треугольников <i>ABE</i>,<i>BCE</i>и <i>CDE</i>равны. Докажите, что тогда <i>BC</i>=<i>AD</i>/2.
Внутри треугольника <i>ABC</i>периметра <i>P</i>взята точка <i>O</i>. Докажите, что <i>P</i>/2 <<i>AO</i>+<i>BO</i>+<i>CO</i><<i>P</i>.
а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.) б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.
Точки <i>C</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>взяты на сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>треугольника <i>ABC</i>так, что <i>BA</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>BC</i>,<i>CB</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>CA</i>,<i>AC</i><sub>1</sub>=$\lambda$<sup> . </sup><i>AB</i>, причем 1/2 <$\lambda$< 1. Докажите, что периметр <i>P</i>треугольника <i>ABC</i>и периметр <i>P</i><sub>1</sub>треугольника <i>A</i><sub>1</sub>&...
Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.
Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>> 5<i>c</i><sup>2</sup>, то <i>c</i> — длина наименьшей стороны.
В. треугольнике длины двух сторон равны 3, 14 и 0, 67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.