Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 6-9 класса - сложность 1-4 с решениями
глава 9. Геометрические неравенства
НазадДан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.
Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4<i>R</i>.
Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника. Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?
Докажите, что замкнутую ломаную длины 1 можно поместить в круг радиуса 0, 25.
В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.
Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?
В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.
Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.
В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки <i>A</i>в точку <i>B</i>, расстояние между которыми равно <i>l</i>. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6<i>l</i>.
На отрезке длиной 1 дано <i>n</i>точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше <i>n</i>/2.
а) Выпуклые многоугольники <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>...<i>B</i><sub>n</sub>таковы, что все их соответственные стороны, кроме <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>n</sub>и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>n</sub>, равны и $\angle$<i>A</i><sub>2</sub>$\geq$$\angle$<i>B</i><sub>2</sub>,...,$\angle$<i>A</i><sub>n - 1</sub>$\geq$$\angle$<i>B</i><sub>n - 1</sub>, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что <i>A</i><sub>1</sub><i>A</...
Докажите, что при <i>n</i>$\geq$7 внутри выпуклого <i>n</i>-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.
Внутри правильного многоугольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>взята точка <i>O</i>. Докажите, что по крайней мере один из углов <i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>удовлетворяет неравенствам $\pi$(1 - 1/<i>n</i>)$\leq$$\angle$<i>A</i><sub>i</sub><i>OA</i><sub>j</sub>$\leq$$\pi$.
Правильный 2<i>n</i>-угольник <i>M</i><sub>1</sub>со стороной <i>a</i>лежит внутри правильного 2<i>n</i>-угольника <i>M</i><sub>2</sub>со стороной 2<i>a</i>. Докажите, что многоугольник <i>M</i><sub>1</sub>содержит центр многоугольника <i>M</i><sub>2</sub>.
Внутри выпуклого многоугольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>взята точка <i>O</i>. Пусть $\alpha_{k}^{}$ — величина угла при вершине <i>A</i><sub>k</sub>,<i>x</i><sub>k</sub>=<i>OA</i><sub>k</sub>,<i>d</i><sub>k</sub> — расстояние от точки <i>O</i>до прямой <i>A</i><sub>k</sub><i>A</i><sub>k + 1</sub>. Докажите, что $\sum$<i>x</i><sub>k</sub>sin($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$$\sum$<i>d</i><sub>k</sub>и $\sum$<i>x</i><sub>k</sub>cos($\alpha_{k}^{}$/2)$\geq$<i>p</i>, где <i>p</i&g...
Плоский многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>составлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Докажите, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.
Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра <i>P</i>можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на <i>P</i>/3.
а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны <i>a</i>и <i>b</i>, то его длина не меньше (<i>a</i>+<i>b</i>)/$\sqrt{2}$. б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны <i>a</i>и <i>b</i>. Докажите, что его периметр не меньше $\sqrt{2}$(<i>a</i>+<i>b</i>).
Семиугольник <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>7</sub>вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах <i>A</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>3</sub>,<i>A</i><sub>5</sub>меньше 450<sup><tt>o</tt></sup>.
Длины сторон выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей <i>AD</i>,<i>BE</i>,<i>CF</i>меньше 2.
Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>равны 1, то радиус описанной окружности одного из треугольников <i>ACE</i>и <i>BDF</i>не превосходит 1.
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята точка <i>P</i>. Докажите, что расстояния от точки <i>P</i>до некоторых трех вершин шестиугольника не меньше 1.
Пусть <i>ABCDE</i> — выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем <i>AB</i>=<i>a</i>,<i>BC</i>=<i>b</i>,<i>CD</i>=<i>c</i>,<i>DE</i>=<i>d</i>,<i>AE</i>= 2. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i><sup>2</sup> + <i>b</i><sup>2</sup> + <i>c</i><sup>2</sup> + <i>d</i><sup>2</sup> + <i>abc</i> + <i>bcd</i> < 4. </div>
Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36<sup><tt>o</tt></sup>.
В параллелограмм <i>P</i><sub>1</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub>, а в параллелограмм <i>P</i><sub>2</sub> вписан параллелограмм <i>P</i><sub>3</sub>, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i><sub>1</sub>. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i><sub>1</sub> не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i><sub>3</sub>.