Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями
Белорусские республиканские математические олимпиады
НазадДоказать, что сумма цифр квадрата любого числа не может быть равна 1967.
Найти последние четыре цифры числа 5<sup>1965</sup>.
Вершины тысячеугольника занумерованы числами от 1 до 1000. Начиная с первой, отмечается каждая пятнадцатая вершина (1, 16, 31 и т.д.). Вершины отмечаются до тех пор, пока не окажется, что все отмечаемые вершины уже найдены. Сколько вершин останутся неотмеченными?
Решить в целых числах уравнение 9<i>x</i> + 2 = (<i>y</i> + 1)<i>y</i>.
Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.
Доказать неравенство <i>abc</i>² + <i>bca</i>² + <i>cab</i>² ≤ <i>a</i><sup>4</sup> + <i>b</i><sup>4</sup> + <i>c</i><sup>4</sup>.
На продолжении наибольшей стороны<i> AC </i>треугольника<i> ABC </i>отложен отрезок<i> |CD|=|BC| </i>. Доказать, что<i> <img src="/storage/problem-media/109039/problem_109039_img_2.gif"> ABD </i>тупой.
Доказать, что площадь прямоугольника, вписанного в треугольник, не превосходит половины площади этого треугольника.
Найти все действительные решения системы уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.
Решить систему уравнений:
<i>x</i><sub>1</sub> + 12<i>x</i><sub>2</sub> = 15,
<i>x</i><sub>1</sub> – 12<i>x</i><sub>2</sub> + 11<i>x</i><sub>3</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 11<i>x</i><sub>3</sub> + 10<i>x</i><sub>4</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 10<i>x</i><sub>4</sub> + 9<i>x</i><sub>5</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 9<i>x</i><sub>5</sub> + 8<i>x</i><sub>6</sub> = 2,
<i>x</i><sub>1</sub> – 8&...
Трапеция, основания которой равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a > b</i>), рассечена прямой, параллельной основаниям, на две трапеции, площади которых относятся как <i>k</i> : <i>p</i>. Найти длину общей стороны образовавшихся трапеций.
Из таблицы <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109019/problem_109019_img_2.gif"></div>выбраны<i>a</i>чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.
Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более<i> 720<sup>o</sup> </i>.
Дано четыре положительных числа <i>a, p, c, k</i>, произведение которых равно 1. Доказать, что <i>a</i>² + <i>p</i>² + <i>c</i>² + <i>k</i>² + <i>ap + ac + pc + ak + pk + ck</i> ≥ 10.
На дуге <i>AB</i> есть произвольная точка <i>M</i>. Из середины <i>K</i> отрезка <i>MB</i> опущен перпендикуляр <i>KP</i> на прямую <i>MA</i>.
Доказать, что все прямые <i>PK</i> проходят через одну точку.
В треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, так, чтобы площадь отсечённого треугольника равнялась <sup>1</sup>/<sub><i>k</i></sub> площади данного треугольника (<i>k</i> – натуральное число), а оставшуюся часть треугольника разделить прямыми на <i>p</i> равновеликих частей. (Предполагается, что у нас есть отрезок единичной длины.)
От двух кусков сплавов (с различным содержанием свинца) массой в 6 и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы каждого из отрезанных кусков?
На продолжении<i> AB, BC, CD </i>и<i> DA </i>сторон выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>откладываются отрезки<i> BB<sub>1</sub>=AB; CC<sub>1</sub>=BC; DD<sub>1</sub>=CD; AA<sub>1</sub>=AD </i>. Доказать, что площадь четырёхугольника<i> A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub> </i>в пять раз больше площади четырёхугольника<i> ABCD </i>.
Стороны треугольника<i> a,b </i>и<i> c </i>.<i> <img src="/storage/problem-media/109006/problem_109006_img_2.gif"> A=60<sup>o</sup> </i>. Доказать, что <center><i>
3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c).
</i></center>
Найти два двузначных числа, обладающих свойствами: если к большему искомому числу приписать справа нуль и меньшее число, а к меньшему приписать большее число и затем нуль, то из образовавшихся чисел первое, будучи разделено на второе, даст в остатке 590, в частном 2. Кроме того, известно, что сумма, составленная из удвоенного большего числа и утроенного меньшего, равна 72.
Какую наибольшую площадь может иметь треугольник, стороны которого<i> a,b,c </i>заключены в следующих пределах: <center><i>
0<a<= 1<= b<= 2<= c<= 3?
</i></center>
Доказать, что из равенства <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_2.gif"> вытекает равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_3.gif"> если <i>k</i> нечётно.
Какими должны быть значения <i>a</i> и <i>b</i>, чтобы многочлен <i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>ax + b</i> был полным квадратом?
Построить прямоугольный треугольник, зная, что часть катета от вершины острого угла до точки касания с вписанной окружностью равна данному отрезку<i> m </i>, а противолежащий этому катету угол равен данному углу<i> α </i>.
Найти углы треугольника, если известно, что все вписанные в него квадраты равны (каждый из квадратов вписан так, что две его вершины лежат на одной из сторон треугольника, а остальные вершины на двух других сторонах треугольника).