Олимпиадные задачи из источника «1953 год» - сложность 3 с решениями
На бесконечной шахматной доске стоит конь. Найти все клетки, куда он может попасть за 2<i>n</i> ходов.
Пусть <i>x</i><sub>0</sub> = 10<sup>9</sup>, <i>x<sub>n</sub></i> = <img width="69" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_2.gif">. Доказать, что 0 < <i>x</i><sub>36</sub> – <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77993/problem_77993_img_3.gif"> < 10<sup>–9</sup>.
Даны уравнения <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0 (1) и – <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> (2). Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub> и <i>x</i><sub>2</sub> – соответственно какие-либо корни уравнений (1) и (2), то найдётся такой корень <i>x</i><sub>3</sub> уравнения ½ <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, что либо <i>x</i><sub>1</sub> ≤ <i>x</i><sub>3</sub> ≤ <i>x</i><sub>2</sub>, либо <i>x</i><sub>1</sub> ≥ <i>x</i><sub>3</sub> ≥ <i>x</i><sub>2</sub>.
В плоскости дан треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>1</sub> соответственно углы α<sub>3</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>. Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub> проводятся прямые, образующие с &l...
1953 цифры выписаны по кругу. Известно, что если читать эти цифры по часовой стрелке, начиная с некоторого определённого места, то полученное 1953-значное число делится на 27. Докажите, что если начать читать по часовой стрелке с любого другого места, то полученное число также будет делиться на 27.
<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i>— длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через<i>S</i>его площадь. Доказать, что<div align="CENTER"> <i>S</i>$\displaystyle \le$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$(<i>a</i> + <i>b</i>)(<i>c</i> + <i>d</i> ). </div>
Тысяча точек является вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого расположено ещё пятьсот точек так, что никакие три из пятисот не лежат на одной прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треугольники таким образом, что все указанные 1500 точек являются вершинами треугольников и эти треугольники не имеют никаких других вершин. Сколько получится треугольников при таком разрезании?
Доказать неравенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$. </div>