Олимпиадные задачи из источника «1957 год» для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Дано <i>n</i> целых чисел  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a_n</i>, причём   <i>a_i ≤ a</i>_<i>i</i>+1 ≤ 2<i>a_i</i>  (<i>i</i> = 1, 2,..., <i>n</i> – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10^kравно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

Найти все действительные решения системы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78126/problem_78126_img_2.gif">

Дан четырёхугольник<i>ABCD</i>. Вписать в него прямоугольник с заданными направлениями сторон.

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₂ так, чтобы произведение <i>a</i>₁!<i>a</i>₂!...<i>a</i>₁₂! было минимально.

Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?

Найти все действительные решения системы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78121/problem_78121_img_2.gif">

Два прямоугольника положены на плоскость так, что их границы имеют восемь точек пересечения. Эти точки соединены через одну. Доказать, что площадь полученного четырёхугольника не изменится при поступательном перемещении одного из прямоугольников.

Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно также поедет в трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (<b>Примечание.</b>Проезд в трамвае стоил 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

При каких целых <i>n</i> число  20^<i>n</i> + 16^<i>n</i> – 3^<i>n</i> – 1  делится на 323?

Плоский многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nсоставлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.

Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> точка <i>M</i> – середина диагонали <i>AC</i>, точка <i>N</i> – середина диагонали <i>BD</i>. Прямая <i>MN</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M'</i> и <i>N'</i>. Доказать, что если  <i>MM' = NN'</i>,  то  <i>BC || AD</i>.

Решить уравнение  <i>x</i>³ – [<i>x</i>] = 3.

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.