Олимпиадные задачи из источника «1957 год» для 4-9 класса - сложность 3 с решениями
Дано <i>n</i> целых чисел <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, причём <i>a<sub>i</sub> ≤ a</i><sub><i>i</i>+1</sub> ≤ 2<i>a<sub>i</sub></i> (<i>i</i> = 1, 2,..., <i>n</i> – 1) и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>k + 1</sup>.
Найти все действительные решения системы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78126/problem_78126_img_2.gif">
Два равных диска насажены на одну ось. На окружности каждого из них по кругу на одинаковых расстояниях в произвольном порядке расставлены числа 1, 2, 3, ..., 20. Всегда ли можно повернуть один диск относительно другого так, чтобы никакие два одинаковых числа не стояли друг против друга?
В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.
Найти все действительные решения системы уравнений <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">
Внутри равностороннего треугольника<i>ABC</i>находится точка<i>O</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>O</i>с центром тяжести (точкой пересечения медиан)<i>G</i>треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/problem_78117_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/proble...
Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>8</sup>равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10<sup>9</sup>.
В треугольнике известны две стороны<i>a</i>и<i>b</i>. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?
Радиолампа имеет семь контактов, расположенных по кругу и включаемых в штепсель, имеющий семь отверстий. Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал на свое место (то есть в отверстие с тем же номером)?
Прямые<i>OA</i>и<i>OB</i>перпендикулярны. Найти геометрическое место концов<i>M</i>таких ломаных<i>OM</i>длины 1, которые каждая прямая, параллельная<i>OA</i>или<i>OB</i>, пересекает не более чем в одной точке.
Плоский многоугольник<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>составлен из<i>n</i>твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если<i>n</i>> 4, то его можно деформировать в треугольник.
В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.
Из всех параллелограммов данной площади найти тот, у которого наибольшая диагональ минимальна.