Олимпиадные задачи из источника «2002 год» - сложность 2 с решениями
Дана окружность с диаметром <i>AB</i>. Другая окружность с центром в точке <i>A</i> пересекает отрезок <i>AB</i> в точке <i>C</i>, причём <i>AC</i> < ½ <i>AB</i>. Общая касательная двух окружностей касается первой окружности в точке <i>D</i>. Докажите, что прямая <i>CD</i> перпендикулярна <i>AB</i>.
Про положительные числа <i>a, b, c</i> известно, что <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup>1</sup>/<i><sub>c</sub> ≥ a + b + c</i>. Докажите, что <i>a + b + c</i> ≥ 3<i>abc</i>.
Тангенсы углов треугольника – целые числа. Чему они могут быть равны?
Найдите все целые числа <i>x</i> и <i>y</i>, удовлетворяющие уравнению <i>x</i><sup>4</sup> – 2<i>y</i>² = 1.
Пусть <i>a, b, c</i> – стороны треугольника. Докажите неравенство <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + 3<i>abc > c</i>³.
Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые - направо, а остальные - кругом. Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?
Квадрат суммы цифр числа <i>A</i> равен сумме цифр числа <i>A</i><sup>2</sup>. Найдите все такие двузначные числа <i>A</i>.
На острове ⅔ всех мужчин женаты и ⅗ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?