Олимпиадные задачи из источника «2011 год» для 5-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что  ∠<i>ABO</i> = ∠<i>CAO</i>,  ∠<i>BAO</i> = ∠<i>BCO</i>,  ∠<i>BOC</i> = 90°.  Найдите отношение  <i>AC</i> : <i>OC</i>.

Верно ли, что любые 100 карточек, на которых написано по одной цифре 1, 2 или 3, встречающейся не более чем по 50 раз каждая, можно разложить в один ряд так, чтобы в нём не было фрагментов 11, 22, 33, 123 и 321?

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции <i>y</i> = sin <i>x</i>. Может ли та же кривая являться графиком функции <i>y</i> = sin ²<i>x</i> в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>b</i>.

  а) Докажите, что если  <i>k</i> = 2,  то  <i>a = b</i>.

  б) В случае  <i>k</i> = 3  приведите пример такой таблицы, для которой  <i>a ≠ b</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> на основании <i>BC</i> взята точка <i>D</i>, а на боковой стороне <i>AB</i> – точки <i>E</i> и <i>M</i> так, что  <i>AM = ME</i>  и отрезок <i>DM</i> параллелен стороне <i>AC</i>. Докажите, что  <i>AD + DE > AB + BE</i>.

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  <i>x</i>²⁰¹¹ + 2011<i>x</i> – 1  и  <i>x</i>²⁰¹¹ – 2011<i>x</i> + 1.

Куб разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что для любых двух параллелепипедов их проекции на некоторую грань куба перекрываются (то есть пересекаются по фигуре ненулевой площади). Докажите, что для любых трёх параллелепипедов найдётся такая грань куба, что проекции каждых двух из них на эту грань не перекрываются.

У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁. Известно, что центр описанной окружности треугольника <i>BB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой <i>AC</i>. Найдите угол <i>C</i> треугольника.

Доска 2010×2011 покрыта доминошками 2×1; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые – вертикально.

Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.

На доске выписано  (<i>n</i> – 1)<i>n</i>  выражений:   <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂,  <i>x</i>₁ – <i>x</i>₃,  ...,  <i>x</i>₁ – <i>x_n</i>,  <i>x</i>₂ – <i>x</i>₁,  <i>x</i>₂ – <i>x</i>₃,  ...,  <i>x</i>₂ – <i>x_n</i>,  ...,  <i>x_n</i> – <i>x</i>_<i>n</i>–1,   где  <i>n</i&...

В трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> лучи <i>AB</i> и <i>DC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABD</i> и <i>BCD</i>. Докажите, что  ∠<i>PKA</i> = ∠<i>QKD</i>.

На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> угол <i>A</i> равен 30°, точка <i>I</i> – центр вписанной окружности <i>ABC, D</i> – точка пересечения отрезка <i>BI</i> с этой окружностью. Докажите, что отрезки <i>AI</i> и <i>CD</i> перпендикулярны.

В турнире каждый участник встретился с каждым из остальных один раз. Каждую встречу судил один арбитр, и все арбитры судили разное количество встреч. Игрок Иванов утверждает, что все его встречи судили разные арбитры. То же самое утверждают о себе игроки Петров и Сидоров. Может ли быть, что никто из них не ошибается?

Что больше:  2011²⁰¹¹ + 2009²⁰⁰⁹  или  2011²⁰⁰⁹ + 2009²⁰¹¹?

В каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце сумма двух наибольших чисел равна <i>b</i>. Докажите, что  <i>a = b</i>.

Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины боковых сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>M</i> на диагональ <i>AC</i>, и перпендикуляр, опущенный из точки <i>N</i> на диагональ <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что  <i>PA = PD</i>.

Каждое звено несамопересекающейся ломаной состоит из нечётного числа сторон клеток квадрата 100×100, соседние звенья перпендикулярны.

Может ли ломаная пройти через все вершины клеток?

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?