Олимпиадные задачи из источника «2010/11» для 11 класса - сложность 2 с решениями
В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе.
Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?
Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под острым углом.
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">. Найдите <i>f</i>(–1).
Докажите, что ни при каких натуральных значениях <i>x</i> и <i>y</i> число <i>x</i><sup>8</sup> – <i>x</i><sup>7</sup><i>y + x</i><sup>6</sup><i>y</i>² – ... – <i>xy</i><sup>7</sup> + <i>y</i><sup>8</sup> не является простым.
Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?
В кубе <i>АВСDA'B'C'D'</i> с ребром 1 точки <i>T, Р</i> и <i>Q</i> – центры граней <i>AA'B'B, A'B'C'D</i>' и <i>BB'C'C</i> соответственно.
Найдите расстояние от точки <i>Р</i> до плоскости <i>АTQ</i>.
Точки <i>K</i> и <i>L</i> – середины сторон <i>АВ</i> и <i>ВС</i> правильного шестиугольника <i>АВСDEF</i>. Отрезки <i>KD</i> и <i>LE</i> пересекаются в точке <i>М</i>. Площадь треугольника <i>DEM</i> равна 12. Найдите площадь четырёхугольника <i>KBLM</i>.