Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 1-4 с решениями

В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.

Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)

На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> отметили точки <i>E</i> и <i>F</i>, так что <i>AFCE</i> – ромб. Известно, что  <i>АВ</i> = 16,  <i>ВС</i> = 12.  Найдите <i>EF</i>.

Верно ли, что  2⁶² + 1  делится на  2³¹ + 2¹⁶+ 1?

На экране компьютера – число 141. Каждую секунду компьютер перемножает все цифры числа на экране, полученное произведение либо прибавляет к этому числу, либо вычитает из него, а результат появляется на экране вместо исходного числа. Появится ли еще когда-нибудь на экране число 141?

Дан остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> симметричны его вершинам <i>В</i> и <i>С</i> относительно прямых <i>АС</i> и <i>АВ</i> соответственно. Описанные окружности треугольников <i>АВВ'</i> и <i>ACC'</i>, вторично пересекаются в точке <i>Р</i>. Докажите, что прямая <i>АР</i> проходит через центр <i>O</i> описанной окружности треугольника <i>АВС</i>.

Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что  <img align="amsmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_2.gif">.  Какие значения может принимать выражение  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64428/problem_64428_img_3.gif">?

На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?

В треугольнике <i>АВС</i> из вершин <i>А</i> и <i>В</i> проведены биссектрисы, а из вершины <i>С</i> – медиана. Оказалось, что точки их попарного пересечения образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Найдите углы треугольника <i>АВС</i>.

По круговой дорожке стадиона длиной 400 метров из одной точки в одном направлении выбегают три спортсмена с постоянными скоростями 12 км/ч,

15 км/ч и 17 км/ч. Через какое наименьшее время спортсмены поравняются?

Перемножили несколько натуральных чисел и получили 224, причём самое маленькое число было ровно вдвое меньше самого большого.

Сколько чисел перемножили?

В треугольнике <i>АВС</i> угол <i>С</i> равен 135°. На стороне <i>АВ</i> вне треугольника построен квадрат с центром <i>О</i>. Найдите <i>ОС</i>, если  <i>АВ</i> = 6.

Докажите, что если  <i>а</i> < 1,  <i>b</i> < 1  и  <i>a + b</i> ≥ 0,5,  то  (1 – <i>a</i>)(1 – <i>b</i>) ≤ ⁹/₁₆.

Можно ли в клетки таблицы размером 4×4 вписать по целому числу так, чтобы сумма всех чисел таблицы была положительной, а сумма чисел в каждом квадрате размера 3×3 была отрицательной?

Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого каждая диагональ не больше, чем любая сторона?

Прямые  <i>у = kx + b,  у</i> = 2<i>kx</i> + 2<i>b</i>  и  <i>у = bx + k</i>  различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты?