Олимпиадные задачи из источника «2013/14» для 9 класса - сложность 2-4 с решениями
Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр.
Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?
Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?
На равных сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>AC = CM</i> и <i>MN = NB</i>. Высота треугольника, проведенная из вершины <i>B</i>, пересекает отрезок <i>CM</i> в точке <i>H</i>. Докажите, что <i>NH</i> – биссектриса угла <i>MNC</i>.
На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трём папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?
Можно ли расставить шесть фотографов на площади таким образом, чтобы каждый из них мог сфотографировать ровно четырёх других? (Фотографы <i>А</i> и <i>В</i> могут сфотографировать друг друга, если на отрезке <i>АВ</i> нет других фотографов.)
В квадрате <i>АВСD</i> со стороной 1 точка <i>F</i> – середина стороны <i>ВС, Е</i> – основание перпендикуляра, опущенного из вершины <i>А</i> на <i>DF</i>.
Найдите длину <i>ВЕ</i>.
Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. А когда поезд отъезжал, один из математиков насчитал скамеек в три раза больше, чем другой. А сколько скамеек насчитал третий?
Найдутся ли такие три натуральных числа, что сумма каждых двух из них – степень тройки?
Полуокружность с диаметром <i>AD</i> касается катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> в точке <i>М</i> (см. рисунок).
Докажите, что <i>AM </i>– биссектриса угла <i>BAC</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64561/problem_64561_img_2.gif"></div>
Для чисел <i>а, b</i> и <i>с</i> выполняется равенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_2.gif">. Следует ли из него, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64560/problem_64560_img_3.gif">?
Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?
Найдите все трёхзначные числа, квадраты которых оканчиваются на 1001.
Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?
На координатной плоскости изображен график функции <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i> (см. рисунок).
На этой же координатной плоскости схематически изобразите график функции <i>y = cx</i>² + 2<i>bx + a</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64491/problem_64491_img_2.gif"></div>
Среди <i>n</i> рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких <i>n</i> такое возможно?
Известно, что в неравностороннем треугольнике <i>ABC</i> точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны <i>BC</i>, принадлежит описанной окружности. Докажите, что ∠<i>BAC</i> < 60°.
В однокруговом турнире участвуют 10 шахматистов. Через какое наименьшее количество туров может оказаться так, что единоличный победитель уже выявился досрочно? (В каждом туре участники разбиваются на пары. Выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0).
Может ли объединение двух треугольников оказаться 13-угольником?
При каких натуральных <i>n</i> число <i>n</i>² – 1 является степенью простого числа?
Окружность пересекает оси координат в точках <i>А</i>(<i>a</i>, 0), <i>B</i>(<i>b</i>, 0) <i>C</i>(0, <i>c</i>) и <i>D</i>(0, <i>d</i>). Найдите координаты её центра.
Для каких значений <i>x</i> выполняется неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64479/problem_64479_img_2.gif">
В классе 33 ученика, всем вместе 430 лет.
Докажите, что если выбрать 20 самых старших из них, то им вместе будет не меньше, чем 260 лет. (Возраст любого ученика – целое число.)
На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> отметили точки <i>E</i> и <i>F</i>, так что <i>AFCE</i> – ромб. Известно, что <i>АВ</i> = 16, <i>ВС</i> = 12. Найдите <i>EF</i>.
Верно ли, что 2<sup>62</sup> + 1 делится на 2<sup>31</sup> + 2<sup>16 </sup>+ 1?