Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2 с решениями

На сторонах <i>АВ</i> и <i>АС </i>равнобедренного треугольника <i>АВС</i>  (<i>АВ = АС</i>)  соответственно отмечены точки <i>М</i>и <i>N</i> так, что  <i>АN > AM</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>ВС</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Сравните длины отрезков <i>MK</i> и <i>MB</i>.

Существует ли квадратный трёхчлен, который при  <i>x</i> = 2014, 2015, 2016  принимает значения 2015, 0, 2015 соответственно?

Сумма неотрицательных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>₁₀ равна 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы  <i>x</i>₁<i>x</i>₂ + <i>x</i>₂<i>x</i>₃ + ... + <i>x</i>₉<i>x</i>₁₀.

Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 (включительно) больше: чётных с нечётной суммой цифр или нечётных с чётной суммой цифр?

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>Р</i> так, что  ∠<i>АРВ</i> + ∠<i>СРD</i> = 180°.  Докажите, что  ∠<i>РВC</i> = ∠<i>РDC</i>.

Сумма трёх различных чисел равна 10, а разность между наибольшим и наименьшим равна 3.

Какие значения может принимать число, среднее по величине?

На доске записаны числа 20 и 100. Разрешается дописать на доску произведение любых двух имеющихся на ней чисел. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число 50...0 (2015 нулей)?

На сторонах <i>АВ, ВС</i> и <i>СА</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно так, что  <i>DE || АC,  DF || BС</i>.

Найдите угол между прямыми <i>AЕ</i> и <i>BF</i>.

Решите систему уравнений:

  ¹/<i>_x = y + z</i>,

  ¹/<i>_y = z + x</i>,

  ¹/<i>_z = x + y</i>.

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?