Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 5-11 класса - сложность 2 с решениями

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> равны, а серединный перпендикуляр к стороне <i>ВС</i> проходит через середину стороны <i>AD</i>.

Могут ли длины всех сторон четырёхугольника быть различными?

Бригада из нескольких рабочих за 7 полных дней может выполнить такое же задание, какое может выполнить эта же бригада без двух человек за несколько полных дней, и такое же, как без шести человек за несколько полных дней. Сколько рабочих в бригаде? (Производительность рабочих одинаковая.)

Зубной врач запретил Соне съедать больше <i>десяти</i> карамелек в день, причём, если в какой-то день она съедает больше <i>семи</i> карамелек, то в следующие два дня ей нельзя съедать более <i>пяти</i> карамелек за день. Какое наибольшее количество карамелек Соня сможет съесть за 25 дней, следуя указаниям зубного врача?

Внутри квадрата отмечена произвольная точка <i>М</i>. Можно ли этот квадрат разрезать не более чем на три прямоугольника, и сложить из них квадрат так, чтобы точка <i>М</i> стала его центром? (Разрезы не должны проходить через точку <i>М</i>.)

В ряд стоят 33 девочки и каждая держит по ромашке. Одновременно каждая из девочек передаёт свою ромашку девочке, стоящей от неё через одну.

Может ли оказаться так, что у каждой девочки будет опять по одной ромашке?

На стороне <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечена точка <i>D</i>. Точка <i>Е</i> такова, что треугольник <i>BDE</i> – также равносторонний.

Докажите, что  <i>CE = AD</i>.

Существуют ли 11 последовательных натуральных чисел, сумма которых равна точному кубу?

Сумма двух сторон прямоугольника равна 7 см, а сумма трёх его сторон равна 9,5 см. Найдите периметр прямоугольника.

Телёнок весит столько же, сколько козлёнок вместе с поросёнком. А поросёнок вместе с телёнком – столько же, сколько ягнёнок вместе с козлёнком.

Сколько весит поросёнок, если ягнёнок весит 30 кг?

Прямой круговой конус с радиусом основания <i>R</i> и высотой  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66011/problem_66011_img_2.gif">   положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  3^<i>n</i> + 2·17^<i>n</i>  является квадратом некоторого натурального числа?

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.

Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Могут ли три различных числа вида  2^<i>n</i> + 1,  где <i>n</i> – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?

Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?

В остроугольном треугольнике <i>АBC</i> через центр <i>I</i> вписанной окружности и вершину <i>А</i> провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке <i>P</i>. Найдите <i>IP</i>, если  ∠<i>А</i> = α,  а радиус описанной окружности равен <i>R</i>.

Решите в целых числах неравенство:  <i>x</i>² < 3 – 2cos π<i>x</i>.

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i>, если известно, что при увеличении числа <i>m</i> на 6 он увеличивается в 9 раз?

Две окружности пересекаются в точках <i>А</i> и <i>В</i>. Через точку <i>В</i> проведена прямая, пересекающая окружности в точках <i>М</i> и <i>N</i> так, что <i>АВ</i> – биссектриса треугольника <i>МАN</i>. Докажите, что отношение отрезков <i>ВМ</i> и <i>BN</i> равно отношению радиусов окружностей.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.

Какие числа могут быть записаны?

Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?

Пусть <i>a, b, c, d</i> – действительные числа, удовлетворяющие системе

  ^<i>a</i>/<i>_b + ^b</i>/<i>_c + ^c</i>/<i>_d + ^d</i>/_<i>a</i> = 6,

  ^<i>a</i>/<i>_c + ^b</i>/<i>_d + ^c</i>/<i>_a + ^d</i>/_<i>b</i> = 8.

Какие значения может принимать выражение ^<i>a</i>/<i>...