Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?

Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  3^<i>n</i> + 2·17^<i>n</i>  является квадратом некоторого натурального числа?

В треугольнике <i>АВС</i> проведены медиана <i>АМ</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i>.

Найдите радиус описанной окружности Ω треугольника <i>АВС</i>, если  <i>AL = t,  AH = h</i>  и <i>L</i> – середина отрезка <i>MH</i>.

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.

Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i>, если известно, что при увеличении числа <i>m</i> на 6 он увеличивается в 9 раз?

Две окружности пересекаются в точках <i>А</i> и <i>В</i>. Через точку <i>В</i> проведена прямая, пересекающая окружности в точках <i>М</i> и <i>N</i> так, что <i>АВ</i> – биссектриса треугольника <i>МАN</i>. Докажите, что отношение отрезков <i>ВМ</i> и <i>BN</i> равно отношению радиусов окружностей.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

В правильном 21-угольнике шесть вершин покрашены в красный цвет, а семь вершин – в синий.

Обязательно ли найдутся два равных треугольника, один из которых с красными вершинами, а другой – с синими?

Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.

Какие числа могут быть записаны?

Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?

Пусть <i>a, b, c, d</i> – действительные числа, удовлетворяющие системе

  ^<i>a</i>/<i>_b + ^b</i>/<i>_c + ^c</i>/<i>_d + ^d</i>/_<i>a</i> = 6,

  ^<i>a</i>/<i>_c + ^b</i>/<i>_d + ^c</i>/<i>_a + ^d</i>/_<i>b</i> = 8.

Какие значения может принимать выражение ^<i>a</i>/<i>...

Число 1047 при делении на <i>A</i> дает остаток 23, а при делении на  <i>A</i> + 1  – остаток 7. Найдите A.

Диагонали четырёхугольника <i>АВСD</i> пересекаются в точке <i>О, М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> соответственно. Отрезок <i>MN</i> делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите отношение  <i>ОМ</i> : <i>ОN</i>,  если  <i>AD</i> = 2<i>BC</i>.

Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на 2, либо в два раза?

На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству  <i>x</i>²<i>y – y</i> ≥ 0.

По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?

Дано 10 натуральных чисел. Из десяти всевозможных сумм по девять чисел всего девять различных: 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95.

Найдите исходные числа.

Две окружности касаются друг друга в точке <i>C</i> и прямой <i>l</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Прямая <i>ВC</i> пересекает вторую окружность в точке <i>D</i>.

Докажите, что угол <i>BАD</i> – прямой.

График линейной функции  <i>у = kх + k</i> + 1,  где  <i>k</i> > 0,  пересекает оси координат в точках <i>А</i> и <i>В</i>.

Какова наименьшая возможная площадь треугольника <i>АВО</i> (<i>О</i> – начало координат)?

На столе лежит прямоугольный лист бумаги. Саша разрезает его по прямой на две части и кладёт части на стол. Потом он берёт одну из частей, снова режет по прямой на две части и кладёт части обратно на стол. Потом снова берёт со стола и разрезает одну часть, и так далее. Какое наименьшее количество разрезов необходимо сделать Саше, чтобы на столе оказалось, по крайней мере, 252 одиннадцатиугольника?

Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>M</i> так, что  ∠<i>АМС</i> = 150°.

Докажите, что отрезки <i>АМ, ВМ</i> и <i>СМ</i> таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.

Решите систему уравнений:

  <i>x</i>³ – <i>y</i> = 6,

  <i>y</i>³ – <i>z</i> = 6,

  <i>z</i>³ – <i>x</i> = 6.