Олимпиадные задачи из источника «2016/2017» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна ^π/₂. Докажите, что  cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.

Прямой круговой конус с радиусом основания <i>R</i> и высотой  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66011/problem_66011_img_2.gif">   положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что  3^<i>n</i> + 2·17^<i>n</i>  является квадратом некоторого натурального числа?

Решите уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>f</i>(<i>x</i>),  если   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66009/problem_66009_img_2.gif">

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.

Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

Могут ли три различных числа вида  2^<i>n</i> + 1,  где <i>n</i> – натуральное, быть последовательными членами геометрической прогрессии?

Существует ли натуральное число, меньшее ста, которое можно представить в виде суммы двух квадратов различных натуральных чисел двумя различными способами?

В остроугольном треугольнике <i>АBC</i> через центр <i>I</i> вписанной окружности и вершину <i>А</i> провели прямую, пересекающую описанную окружность в точке <i>P</i>. Найдите <i>IP</i>, если  ∠<i>А</i> = α,  а радиус описанной окружности равен <i>R</i>.

Решите в целых числах неравенство:  <i>x</i>² < 3 – 2cos π<i>x</i>.

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел <i>m</i> и <i>n</i>, если известно, что при увеличении числа <i>m</i> на 6 он увеличивается в 9 раз?

Две окружности пересекаются в точках <i>А</i> и <i>В</i>. Через точку <i>В</i> проведена прямая, пересекающая окружности в точках <i>М</i> и <i>N</i> так, что <i>АВ</i> – биссектриса треугольника <i>МАN</i>. Докажите, что отношение отрезков <i>ВМ</i> и <i>BN</i> равно отношению радиусов окружностей.

Решите уравнение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65994/problem_65994_img_2.gif">

Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.

Какие числа могут быть записаны?

Кодовый замок откроется, если в клетках квадрата размером 4×4 набрать числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2×2 была кратна 17. Можно ли открыть такой замок?

Пусть <i>a, b, c, d</i> – действительные числа, удовлетворяющие системе

  ^<i>a</i>/<i>_b + ^b</i>/<i>_c + ^c</i>/<i>_d + ^d</i>/_<i>a</i> = 6,

  ^<i>a</i>/<i>_c + ^b</i>/<i>_d + ^c</i>/<i>_a + ^d</i>/_<i>b</i> = 8.

Какие значения может принимать выражение ^<i>a</i>/<i>...

Число 1047 при делении на <i>A</i> дает остаток 23, а при делении на  <i>A</i> + 1  – остаток 7. Найдите A.

Диагонали четырёхугольника <i>АВСD</i> пересекаются в точке <i>О, М</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> соответственно. Отрезок <i>MN</i> делит площадь четырёхугольника пополам. Найдите отношение  <i>ОМ</i> : <i>ОN</i>,  если  <i>AD</i> = 2<i>BC</i>.

(sin <i>x</i>, sin <i>y</i>, sin <i>z</i>)  – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность  (cos <i>x</i>, cos <i>y</i>, cos <i>z</i>)  также являться арифметической прогрессией?

Можно ли поставить в ряд все натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы каждые два соседних числа отличались либо на 2, либо в два раза?

На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству  <i>x</i>²<i>y – y</i> ≥ 0.

По кольцевой дорожке длиной 60 см движутся в обе стороны муравьи со скоростью 1 см/c. Когда два муравья сталкиваются, они мгновенно разворачиваются и движутся с той же скоростью в противоположных направлениях. Оказалось, что за минуту произошло 48 попарных столкновений. Сколько муравьев могло быть на дорожке?

Дано 10 натуральных чисел. Из десяти всевозможных сумм по девять чисел всего девять различных: 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95.

Найдите исходные числа.

Две окружности касаются друг друга в точке <i>C</i> и прямой <i>l</i> в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Прямая <i>ВC</i> пересекает вторую окружность в точке <i>D</i>.

Докажите, что угол <i>BАD</i> – прямой.

График линейной функции  <i>у = kх + k</i> + 1,  где  <i>k</i> > 0,  пересекает оси координат в точках <i>А</i> и <i>В</i>.

Какова наименьшая возможная площадь треугольника <i>АВО</i> (<i>О</i> – начало координат)?