Олимпиадные задачи из источника «12 (2014 год)» - сложность 1-2 с решениями

В трапеции <i>ABCD  BC < AD,  AB = CD,  K</i> – середина <i>AD, M</i> – середина <i>CD, CH</i> – высота.

Докажите, что прямые <i>AM, CK</i> и <i>BH</i> пересекаются в одной точке.

Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ равна какой-то стороне?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>M</i> так, что  <i>AD = DM</i>.  На стороне <i>AD</i> взята точка <i>N</i> так, что  <i>AB = BN</i>.

Докажите, что  <i>CM = CN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 45°,  <i>BH</i> – высота, точка <i>K</i> лежит на стороне <i>AC</i>, причём  <i>BC = CK</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABK</i> совпадает с центром вневписанной окружности треугольника <i>BCH</i>.