Олимпиадные задачи из источника «12 (2014 год)» - сложность 2-3 с решениями

Дан правильный треугольник <i>ABC</i>, площадь которого равна 1, и точка <i>P</i> на его описанной окружности. Прямые <i>AP, BP, CP</i> пересекают соответственно прямые <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A', B', C'</i>. Найдите площадь треугольника <i>A'B'C'</i>.

Медианы <i>AA</i>₀, <i>BB</i>₀ и <i>CC</i>₀ остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – в точке <i>H</i>. Касательная к описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точке <i>C</i>₁ пересекает прямую <i>A</i>₀<i>B</i>₀ в точке <i>C'</i>...

Биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>I</i>. Описанные окружности треугольников <i>AIC</i>₁ и <i>CIA</i>₁ повторно пересекают дуги <i>AC</i> и <i>BC</i> (не содержащие точек <i>B</i> и <i>A</i> соответственно) описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₂ и <i>A</i>₂ соответственно. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>C</i>₁&l...

Можно ли правильную треугольную призму разрезать на две равные пирамиды?

В трапеции <i>ABCD  BC < AD,  AB = CD,  K</i> – середина <i>AD, M</i> – середина <i>CD, CH</i> – высота.

Докажите, что прямые <i>AM, CK</i> и <i>BH</i> пересекаются в одной точке.

Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> с гипотенузой <i>AB</i> взята такая точка <i>M</i>, что угол <i>MAB</i> на 15&deg больше угла <i>MAC</i>, а угол <i>MCB</i> на 15&deg больше угла <i>MBC</i>. Найдите угол <i>BMC</i>.

Отрезок <i>AD</i> – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Через точку <i>H</i> пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне <i>BC</i>, которая пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно.

Докажите, что периметр треугольника <i>DEF</i> в два раза больше стороны <i>BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>BC</i> пересекают сторону <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно, причём точка <i>P</i> лежит на отрезке <i>AQ</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>PBC</i> и <i>QBA</i> пересекаются на биссектрисе угла <i>PBQ</i>.

Существует ли выпуклый пятиугольник, в котором каждая диагональ равна какой-то стороне?

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. На стороне <i>AB</i> взята точка <i>M</i> так, что  <i>AD = DM</i>.  На стороне <i>AD</i> взята точка <i>N</i> так, что  <i>AB = BN</i>.

Докажите, что  <i>CM = CN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 45°,  <i>BH</i> – высота, точка <i>K</i> лежит на стороне <i>AC</i>, причём  <i>BC = CK</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABK</i> совпадает с центром вневписанной окружности треугольника <i>BCH</i>.