Олимпиадные задачи из источника «13 (2015 год)» - сложность 3-5 с решениями
13 (2015 год)
НазадВ остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>CC</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> и параллельную прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>A</i><sub>0</sub> – середина стороны <i>BC</i>, а <i>AA</i><sub>1</sub> – высота. Прямые <i>A</i><sub>0</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>0</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают прямую <i>PQ</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что описанные окружности...
В пространстве дан треугольник <i>ABC</i> и сферы <i>S</i><sub>1</sub> и <i>S</i><sub>2</sub>, каждая из которых проходит через точки <i>A, B</i> и <i>C</i>. Для точек <i>M</i> сферы <i>S</i><sub>1</sub>, не лежащих в плоскости треугольника <i>ABC</i>, проводятся прямые <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>, пересекающие сферу <i>S</i><sub>2</sub> вторично в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i...
В треугольнике <i>ABC</i> <i>M</i> – середина стороны <i>BC, P</i> – точка пересечения касательных в точках <i>B</i> и <i>C</i> к описанной окружности, <i>N</i> – середина отрезка <i>MP</i>. Отрезок <i>AN</i> пересекает описанную окружность в точке <i>Q</i>. Докажите, что ∠<i>PMQ</i> = ∠<i>MAQ</i>.
<i>O</i> – точка пересечения диагоналей трапеции <i>ABCD</i>. Прямая, проходящая через <i>C</i> и точку, симметричную <i>B</i> относительно <i>O</i>, пересекает основание <i>AD</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что <i>S<sub>AOK</sub> = S<sub>AOB</sub> + S<sub>DOK</sub></i>.
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. На сторонах <i>AC</i> и <i>AB</i> отмечены точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> соответственно, так, что <i>HA</i> – биссектриса угла <i>B</i><sub>1</sub><i>HC</i><sub>1</sub> и четырёхугольник <i>BC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i> – вписанный. Докажите, что <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> – основания высот треугольника <i>ABC</i>.
На стороне <i>BE</i> правильного треугольника <i>ABE</i> вне его построен ромб <i>BCDE</i>. Отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что <i>AF < BD</i>.
В трапеции <i>ABCD</i> биссектрисы углов <i>A</i> и <i>D</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лежащей на боковой стороне <i>BC</i>. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а две другие касаются биссектрисы <i>DE</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что <i>BK = MN</i>.