Олимпиадные задачи из источника «13 турнир (1991/1992 год)» - сложность 3 с решениями

Из центра <i>O</i> правильного <i>n</i>-угольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> проведены <i>n</i> векторов в его вершины. Даны такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>,  что

<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > ... > <i>a_n</i> > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108112/problem_108112_img_2.gif">   отлична от нулевого вектора.

Угол при вершине <i>A</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = AC</i>)  равен 20°. На стороне <i>AB</i> отложим отрезок <i>AD</i>, равный <i>BC</i>. Найдите угол <i>BCD</i>.

Пусть <i>n</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Через  <i>V</i>(<i>n, b</i>)  обозначим число разложений <i>n</i> на сомножители, каждый из которых больше <i>b</i> (например:

36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  <i>V</i>(36, 2) = 5).  Докажите, что  <i>V</i>(<i>n, b</i>) < ^<i>n</i>/_<i>b</i>.

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

Даны три треугольника: <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃, <i>C</i>₁<i>C</i>₂<i>C</i>₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида <i>A_iB_jC_k</i>, где <i>i, j, k</i> независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что...

Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в <i>i</i>-й строке и <i>j</i>-м столбце таблицы записано число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98139/problem_98139_img_2.gif">   В таблице зачеркнули <i>n</i> чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98138/problem_98138_img_2.gif"> .   Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

Круг разбит на <i>n</i> секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  <i>n</i> + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Имеется 50 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 51 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за семь взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 51-е место?

Точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Построим треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, стороны которого параллельны отрезкам <i>PA, PB, PC</i>

(<i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>PA,  C</i>₁<i>A</i>₁ || <i>PB,  A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>PC</i>). Через точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ проведены прямые, пар...

Пусть <i>m, n</i> и <i>k</i> – натуральные числа, причём  <i>m > n</i>.  Какое из двух чисел больше:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_3.gif"> (В каждом выражении <i>k</i> знаков квадратного корня, <i>m</i> и <i>n</i> чередуются.)

Пусть в прямоугольном треугольнике <i>AB</i> и <i>AC</i> – катеты,  <i>AC > AB</i>.  На <i>AC</i> выбрана точка <i>E</i>, а на <i>BC</i> – точка <i>D</i> так, что  <i>AB = AE = BD</i>.

Докажите, что треугольник <i>ADE</i> прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника <i>ABC</i> относятся как  3 : 4 : 5.

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

  а) Докажите, что число её членов меньше 100.

  б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

  в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

Пусть <i>M</i> – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника <i>ABC</i>. При повороте на 120° вокруг точки <i>M</i> точка <i>B</i> переходит в точку <i>P</i>, при повороте на 240° вокруг точки <i>M</i> (в том же направлении) точка <i>C</i> переходит в точку <i>Q</i>. Докажите, что либо треугольник <i>APQ</i> – правильный, либо точки <i>A, P, Q</i> совпадают.

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:

  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;

  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;

  3) среди чисел нет равных;

  4) все числа не больше 1991?

Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на ^360°/₇ вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?

<i>n</i> школьников хотят разделить поровну <i>m</i> одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.

  а) При каких <i>n</i> это возможно, если   <i>m</i> = 9?

  б) При каких <i>n</i> и <i>m</i> это возможно?

Дан выпуклый восьмиугольник <i>ABCDEFGH</i>, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – <i>AB = CD = EF = GH</i>,

<i>BC = DE = FG = HA</i>  (будем называть такой восьмиугольник <i>полуправильным</i>). Проводим диагонали <i>AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB</i> и <i>HC</i>. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный вос...

Квадрат 9×9 разбит на 81 единичную клетку. Некоторые клетки закрашены, причём расстояние между центрами каждых двух закрашенных клеток больше 2.

  а) Приведите пример раскраски, при которой закрашенных клеток 17.

  б) Докажите, что больше 17 закрашенных клеток быть не может.

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:

  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;

  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;

  3) среди чисел нет равных;

  4) все числа не больше 100?