Олимпиадные задачи из источника «26 турнир (2004/2005 год)» для 10-11 класса - сложность 1-2 с решениями

Высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины отрезков <i>AB</i> и <i>CH</i> соответственно.

Доказать, что прямые <i>XY</i> и <i>A'B'</i> перпендикулярны.

На циферблате правильно идущих часов барона Мюнхгаузена есть только часовая, минутная и секундная стрелки, а все цифры и деления стёрты. Барон утверждает, что может определять время по этим часам, поскольку, по его наблюдению, на них в течение дня (с 8.00 до 19.59) не повторяется два раза одно и то же расположение стрелок. Верно ли наблюдение барона? (Стрелки имеют различную длину, движутся равномерно.)

На графике квадратного трёхчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.

Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.

Все натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную ленту: 123456789101112... Затем ленту разрезали на полоски по 7 цифр в каждой. Докажите, что любое семизначное число

  a) встретится хотя бы на одной из полосок;

  б) встретится на бесконечном числе полосок.

На координатной плоскости нарисованы четыре графика функций вида  <i>y = x</i>² + <i>ax + b</i>,  где <i>a, b</i> – числовые коэффициенты. Известно, что есть ровно четыре точки пересечения, причём в каждой пересекаются ровно два графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс точек пересечения равна сумме двух других абсцисс.

В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?

Дан квадрат <i>ABCD, M</i> и <i>N</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>AD</i>. На продолжении диагонали <i>AC</i> за точку <i>A</i> взяли точку <i>K</i>. Отрезок <i>KM</i> пересекает сторону <i>AB</i>

в точке <i>L</i>. Докажите, что углы <i>KNA</i> и <i>LNA</i> равны.

На первой горизонтали шахматной доски стоят 8 чёрных ферзей, а на последней – 8 белых ферзей. За какое минимальное число ходов белые ферзи могут обменяться местами с чёрными? Ходят белые и чёрные по очереди, по одному ферзю за ход.

Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт <i>m</i> или <i>n</i> камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть <i>m</i> и <i>n</i>?

Функции  <i>f</i> и <i>g</i> определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что  <i>f</i> представляется в виде суммы линейной и периодической функций:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>kx + h</i>(<i>x</i>),  где <i>k</i> – число, <i>h</i> – периодическая функция. Доказать, что <i>g</i> также представляется в таком виде.

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A', B'</i> и <i>C'</i>. Известно, что  <i>AA' = BB' = CC'</i>.

Обязательно ли треугольник <i>ABC</i> правильный?

Назовём треугольник <i>рациональным</i>, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника <i>рациональной</i>, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.

Даны два многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) положительной степени, причём  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) ≡ <i>Q</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>))  и  <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) ≡ <i>Q</i>(<i>Q</i>(<i>Q</i>(<i>x</i>))).

Обязательно ли тогда  <i>P</i>(<i>x</i>) ≡ <i>Q</i>(<i>x</i>)?

В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?

Три окружности проходят через точку <i>X. A, B, C</i> – точки их пересечения, отличные от <i>X. A'</i> – вторая точка пересечения прямой <i>AX</i> и описанной окружности треугольника <i>BCX</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> определяются аналогично. Докажите, что треугольники <i>ABC', AB'C</i> и <i>A'BC</i> подобны.

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые <i>приблизительно равны</i>? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются <i>приблизительно равными</i>, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил <i>n</i> билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города <i>A</i>. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе <i>B</i>. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе <i>X</i> и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что <i>X</i> – это либо <i>A</i>, либо <i>B</i>