Олимпиадные задачи из источника «26 турнир (2004/2005 год)» для 8-10 класса - сложность 3-5 с решениями

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки <i>C</i>, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что отрезок <i>AB</i> перпендикулярен линии центров окружностей.

Конструктор состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. В бракованном наборе одно из измерений каждого параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно уменьшить одно из измерений (параллелепипеды укладываются в коробку так, что их рёбра параллельны рёбрам коробки)?

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.

Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.

Существует ли такой квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), что для любого натурального <i>n</i> уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(...<i>f</i>(<i>x</i>))) = 0  (<i>n</i> букв "<i>f</i>") имеет ровно 2<i>n</i> различных действительных корней?

Пусть <i>A</i> – угловая клетка шахматной доски, <i>B</i> – соседняя с ней по диагонали клетка. Докажите, что число способов обойти всю доску <i>хромой ладьей</i> (ходит на одну клетку по вертикали или горизонтали), начиная с клетки <i>A</i>, больше, чем число способов обойти всю доску хромой ладьей, начиная с клетки <i>B</i>. (Ладья должна побывать на каждой клетке ровно один раз.)

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из <i>K</i> цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если

  a)  <i>K</i> = 7;   б)  <i>K</i> = 10?

<img align="right" src="/storage/problem-media/65579/problem_65579_img_2.gif">Клетки шахматной доски 8×8 занумерованы по диагоналям, идущим влево вниз, от 1 в левом верхнем до 64 в правом нижнем углу: (см. рис.). Петя расставил на доске 8 фишек так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали оказалось по одной фишке. Затем он переставил фишки так, что каждая фишка попала на клетку с бóльшим номером. Могло ли по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце оказаться по одной фишке?

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

Клетчатый бумажный прямоугольник 10×12 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1×1. Сколько частей могло получиться после того, как этот квадратик разрезали по отрезку, соединяющему

  a) середины двух его противоположных сторон;

  б) середины двух его соседних сторон?

Углы <i>AOB</i> и <i>COD</i> совмещаются поворотом так, что луч <i>OA</i> совмещается с лучом <i>OC</i>, а луч <i>OB</i> – с <i>OD</i>. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Доказать, что углы <i>AOE</i> и <i>DOF</i> равны.

Дано простое число <i>p</i>. Назовём треугольник <i>разрешённым</i>, если все его углы имеют вид  ^<i>m</i>/_<i>p</i>·180°,  где <i>m</i> целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.

Окружность с центром <i>I</i> лежит внутри окружности с центром <i>O</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IAB</i>, где <i>AB</i> – хорда большей окружности, касающаяся меньшей.

Пусть <i>A</i> и <i>B</i> – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных <i>A</i>, сложили прямоугольник, подобный <i>B</i>.

Докажите, что из прямоугольников, равных <i>B</i>, можно сложить прямоугольник, подобный <i>A</i>.

Двое делят кусок сыра. Сначала первый режет сыр на два куска, потом второй – любой из кусков на два, и так далее, пока не получится пять кусков. Затем первый берёт себе один кусок, потом второй – один из оставшихся кусков, потом снова первый – и так, пока куски не закончатся. Для каждого игрока выяснить, какое наибольшее количество сыра он может себе гарантировать.

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>BC</i> отмечена точка <i>K</i>. В треугольники <i>ABK</i> и <i>ACK</i> вписаны окружности, первая касается стороны <i>BC</i> в точке <i>M</i>, вторая – в точке <i>N</i>. Докажите, что  <i>BM·CN > KM·KN</i>.

Ваня задумал два положительных числа <i>x</i> и <i>y</i>. Он записал числа  <i>x + y,  x – y,  xy</i> и <i>^x</i>/_<i>y</i> и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить <i>x</i> и <i>y</i>.

Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы каждый бил не более семи из остальных?

При каких <i>N</i> числа от 1 до <i>N</i> можно расставить в другом порядке так, чтобы среднее арифметическое любой группы из двух или более подряд стоящих чисел не было целым?