Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» - сложность 2-3 с решениями

Назовём натуральное число <i>ровным</i>, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999).

Докажите, что любое <i>n</i>-значное число можно представить как сумму не более чем  <i>n</i> + 1  ровных чисел.

Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.

На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.

Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?

Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Дана квадратная таблица. В каждой её клетке стоит либо плюс, либо минус, причём всего плюсов и минусов поровну.

Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов.