Олимпиадные задачи из источника «5 турнир (1983/1984 год)» - сложность 2 с решениями

Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  <i>ABM, BCM, CDM</i> и <i>DAM</i> образуют квадрат.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).

Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:

  а)  80 коп.;

  б)  одного рубля.

Рассматриваются  4(<i>N</i> – 1)  граничных клеток таблицы размером <i>N×N</i>. Нужно вписать в эти клетки последовательные  4(<i>N</i> – 1)  целых чисел так, чтобы сумма чисел в вершинах любого прямоугольника со сторонами, параллельными диагоналям таблицы, в том числе и в "вырожденных" прямоугольниках – диагоналях, равнялась одному и тому же числу (для прямоугольников суммируются четыре числа, для диагоналей – два числа). Возможно ли это? Рассмотрите случаи:

  а)  <i>N</i> = 3;

  б)  <i>N</i> = 4;

  в)  <i>N</i> = 5.

На уроке танцев 15 мальчиков и 15 девочек построили двумя параллельными колоннами, так что образовалось 15 пар. В каждой паре измерили разницу роста мальчика и девочки (разница берётся по абсолютной величине, то есть из большего вычитают меньшее). Максимальная разность оказалась 10 см. В другой раз перед образованием пар каждую колонну предварительно построили по росту. Докажите, что максимальная разность будет не больше 10 см.

Через <i>P</i>(<i>x</i>) обозначается произведение всех цифр натурального числа <i>x</i>, через <i>S</i>(<i>x</i>) – сумма цифр числа <i>x</i>.

Сколько решений имеет уравнение:   <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) + <i>P</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) = 1984 ?

Рассматриваются девятизначные числа, состоящие из неповторяющихся цифр от 1 до 9 в разном порядке. Пара таких чисел называется <i>кондиционной</i>, если их сумма равна 987654321.

  а) Доказать, что найдутся хотя бы две кондиционные пары  &nbsp((<i>a, b</i>)&nbsp и &nbsp(<i>b, a</i>)&nbsp – одна и та же пара).

  б) Доказать, что кондиционных пар – нечётное число.

Найти все такие натуральные <i>k</i>, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

На сторонах <i>CB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что периметр треугольника <i>CMK</i> равен удвоенной стороне квадрата.

Найдите величину угла <i>MAK</i>.

В выпуклом пятиугольнике <i>ABCDE  AE = AD,  AC = AB</i>  и  ∠<i>DAC</i> = ∠<i>AEB</i> + ∠<i>ABE</i>.

Докажите, что сторона <i>CD</i> в два раза больше медианы <i>AK</i> треугольника <i>ABE</i>.