Олимпиадные задачи из источника «6 турнир (1984/1985 год)» для 3-10 класса - сложность 3 с решениями

На плоскости расположено такое конечное множество точек <i>M</i>, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены друг с другом отрезками так, что из каждой точки выходит не более одного отрезка. Разрешается заменить пару пересекающихся отрезков <i>AB</i> и <i>CD</i> парой противоположных сторон <i>AC</i> и <i>BD</i> четырёхугольника <i>ACBD</i>. В полученной системе отрезков разрешается снова произвести подобную замену, и т. д. Может ли последовательность таких замен быть бесконечной?

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

  Радиус <i>OM</i> круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_<i>N</i>  (<i>N</i> – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение <i>OM</i>₀, через секунду – <i>OM</i>₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – <i>OM</i>₂, ещё через три секунды после этого – <i>OM</i>₃, и т. д., ещё через  <i>N</i> – 1  секунду после <i>ОМ</i>_<i>N</i>–2  – <i>OM</i>_<i>N</i>–1.

  При каких <i>N...

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.

Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

Набор чисел  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:

      <i>B</i>₁ = <i>A</i>₁,  <i>B</i>₂ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂,  <i>B</i>₃ = <i>A</i>₁ + <i>A</i>₂ + <i>A</i>₃,  ...,  <i>B</i>₁₀₀ = <i>A</i>₁ + <i>A</i><sub>2...

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

В треугольнике <i>ABC</i> углы при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> равны 40°, <i>BD</i> – биссектриса угла <i>B</i>. Докажите, что  <i>BD + DA = BC</i>.