Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 2-4 с решениями
Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида <i>x</i>² + <i>px + q</i>, среди коэффициентов <i>p</i> и <i>q</i> которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.
Докажите, что если числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i> отличны от нуля и для любого целого <i>k</i> = 0, 1, ..., <i>n</i> (<i>n < m</i> – 1) выполняется равенство:
<i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub>·2<sup><i>k</i></sup> + <i>a</i><sub>3</sub>·3<sup><i>k</i></sup> + ... + <i>a<sub>m</sub>m<sup>k</sup></i> = 0, то в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i> ...
В строку в неизвестном порядке записаны все целые числа от 1 до 100. За один вопрос про любые 50 чисел можно узнать, в каком порядке относительно друг друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов наверняка можно узнать, в каком порядке записаны все 100 чисел?
Существует ли такое конечное множество <i>M</i> ненулевых действительных чисел, что для любого натурального <i>n</i> найдется многочлен степени не меньше <i>n</i> с коэффициентами из множества <i>M</i>, все корни которого действительны и также принадлежат <i>M</i>?
Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?
Докажите, что при <i>n</i> ≥ 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный <i>n</i>-угольник, не может являться правильным (<i>n</i>+1)-угольником.
Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.
Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до<i> n </i>(<i> n></i>1), одинаково читаться слева направо и справа налево?