Олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Приведённый квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) таков, что многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) имеют общий корень. Докажите, что <i>P</i>(0)<i>P</i>(1) = 0.
Даны положительные числа <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>. Докажите неравенство <img align="middle" src="/storage/problem-media/116543/problem_116543_img_2.gif">
На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число 2<i>x</i> + 1 или <sup><i>x</i></sup>/<sub><i>x</i>+2</sub>. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>0</sub><i>x<sup>n</sup> + a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x + a<sub>n</sub></i>. Положим <i>m</i> = min {<i>a</i><sub>0</sub>, <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>0</sub> + <i>a</i><sub>1</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i>}.
Докажите, что <i>P</i>(<i>x</i>) ≥ <i>mx<sup>n</sup></i>...
Известно, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110215/problem_110215_img_2.gif"> и <i>x</i><sub>1</sub> + <i>x</i><sub>2</sub> + ... + <i>x</i><sub>6</sub> = 0. Докажите, что <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub>...<i>x</i><sub>6</sub> ≤ ½.
Докажите, что для каждого<i> x </i>такого, что<i> sin x<img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_2.gif"> </i>0, найдется такое натуральное<i> n </i>, что<i> | sin nx| <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_3.gif"> <img src="/storage/problem-media/110210/problem_110210_img_4.gif"> </i>.
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110180/problem_110180_img_2.gif"> для <i>x</i> > 0 и натурального <i>n</i>.
Существует ли такое натуральное число, что произведение всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) оканчивается ровно на 2001 ноль?
Даны целые числа <i>a, b</i> и <i>c, c ≠ b</i>. Известно, что квадратные трёхчлены <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> и (<i>c – b</i>)<i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a + b</i>) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что <i>a + b</i> + 2<i>c</i> делится на 3.
По данному натуральному числу <i>a</i><sub>0</sub> строится последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} следующим образом <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110036/problem_110036_img_2.gif"> если <i>a<sub>n</sub></i> нечётно, и <sup><i>a</i><sub>0</sub></sup>/<sub>2</sub>, если <i>a<sub>n</sub></i> чётно. Докажите, что при любом нечётном <i>a</i><sub>0</sub> > 5 в последовательности {<i>a<sub>n</sub></i>} встретятся сколь угодно большие числа.
Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">
Последовательность {<i>a<sub>n</sub></i>} строится следующим образом: <i>a</i><sub>1</sub> = <i>p</i> – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> – период десятичной дроби <sup>1</sup>/<sub><i>a<sub>n</sub></i></sub>, умноженный на 2. Найдите число <i>a</i><sub>2003</sub>.
Последовательность натуральных чисел <i>a<sub>n</sub></i> строится следующим образом: <i>a</i><sub>0</sub> – некоторое натуральное число; <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = ⅕ <i>a<sub>n</sub></i>, если <i>a<sub>n</sub></i> делится на 5;
<i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a<sub>n</sub></i>], если <i>a<sub>n</sub></i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a<sub>n</sub></i> возрастает.
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Совершенное число, большее 6, делится на 3. Докажите, что оно делится на 9.
Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.
Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> справедливо неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109704/problem_109704_img_2.gif">
Выпуклый многоугольник<i> M </i>переходит в себя при повороте на угол90<i><sup>o</sup> </i>. Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным<i> <img src="/storage/problem-media/109654/problem_109654_img_2.gif"> </i>, один из которых содержит<i> M </i>, а другой содержится в<i> M </i>.
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа <i>n</i>, увеличенные на 1. Найдите все такие числа <i>n</i>, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа <i>m</i>.
Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения <i>a</i>³, <i>b</i>³ и <i>c</i>³?
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i>³</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i>³</sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>³<i>b</i><sup>3</sup><i>c</i>³<i>d</i>³</sub>.
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> равна 3. Докажите неравенство <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>²</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>b</i>²</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>c</i>²</sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>d</i>²</sub> ≤ <sup>1</sup>/<sub><i>a</i>²<i>b</i>²<i>c</i>²<i>d</i>²</sub>.
Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что а) уравнение <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0 не имеет корней, а уравнение [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет? б) уравнение <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0 не имеет корней, а уравнение [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0 имеет?
Числа <i>a, b, c</i> и <i>d</i> таковы, что <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>² = 4. Докажите, что (2 + <i>a</i>)(2 + <i>b</i>) ≥ <i>cd</i>.