Олимпиадные задачи по математике для 6-9 класса - сложность 3-5 с решениями
Полицейский участок расположен на прямой дороге, бесконечной в обе стороны. Некто угнал старую полицейскую машину, максимальная скорость которой составляет 90% от максимальной скорости новой машины. В некоторый момент в участке спохватились и послали вдогонку полицейского на новой полицейской машине. Однако вот беда: полицейский не знал, ни когда машина была угнана, ни в каком направлении вдоль дороги уехал угонщик. Сможет ли полицейский поймать угонщика?
Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.
Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение каждых двух из которых делится нацело на квадрат их разности?
В неравнобедренном треугольнике<i> ABC </i>проведены медианы<i> AK </i>и<i> BL </i>. Углы<i> BAK </i>и<i> CBL </i>равны30<i><sup>o</sup> </i>. Найдите углы треугольника<i> ABC </i>.
Точка <i>P</i> лежит внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i> (<i>AB = BC </i>), причём ∠<i>ABC</i> = 80°, ∠<i>PAC</i> = 40°, ∠<i>ACP</i> = 30°. Найдите угол <i>BPC</i>.
Каждой паре чисел <i>x</i> и <i>y</i> поставлено в соответствие некоторое число <i>x</i><i>y</i>. Найдите 19931935, если известно, что для любых трёх чисел <i>x, y, z</i> выполнены тождества: <i>x</i><i>x</i> = 0 и <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i><i>y</i>) + <i>z</i>.
Положительные числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> таковы, что <i>abc</i> = 1. Докажите неравенство <div align="CENTER"> <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_2.gif"> + <img width="68" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_3.gif"> + <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_4.gif"> ≤ 1. </div>
Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в чёрный и белый цвета так, чтобы множества белых точек этих фигур были подобны друг другу и множества чёрных точек также были подобны друг другу (возможно, с различными коэффициентами подобия)?
Остроугольный треугольник разрезали прямолинейным разрезом на две (не обязательно треугольные) части, затем одну из этих частей – опять на две части, и так далее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся частей и разрезали её (по прямой) на две. Через несколько шагов оказалось, что исходный треугольник распался на несколько треугольников. Могут ли все они быть тупоугольными?
Натуральное число <i>N</i> в 999...99 (<i>k</i> девяток) раз больше суммы своиx цифр. Укажите все возможные значения <i>k</i> и для каждого из них приведите пример такого числа.
В вершинах куба<i>ABCDEFGH</i>расставлены натуральные числа так, что числа в соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите, что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в которых отличаются не более чем на единицу. (Пары диаметрально противоположных вершин куба: <i>A</i> и <i>G</i>, <i>B</i> и <i>H</i>, <i>C</i> и <i>E</i>, <i>D</i> и <i>F</i>.)
<img src="/storage/problem-media/103857/problem_103857_img_2.gif">
a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту. б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?
Дано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.
В компанию из <i>n</i> человек пришёл журналист. Ему известно, что в этой компании есть человек <i>Z</i>, который знает всех остальных членов компании, но его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться с вопросом: "Знаете ли вы такого-то?"
а) Может ли журналист установить, кто из компании есть <i>Z</i>, задав менее <i>n</i> вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы наверняка найти <i>Z</i>, и докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя.
(Все отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопросов.)
Задано правило, которое каждой паре чисел <i>x</i>, <i>y</i> ставит в соответствие некоторое число <i>x*y</i>, причём для любых <i>x, y, z</i> выполняются тождества:
1) <i>x</i>*<i>x</i> = 0,
2) <i>x</i>(<i>y</i><i>z</i>) = (<i>x</i>*<i>y</i>) + <i>z</i>.
Найдите 1993*1932.
Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся
а) не меньше пяти рёбер,
б) ровно пять рёбер?
В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?
Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
Существуют ли такие натуральные <i>n</i> и <i>k</i>, что десятичная запись числа 2<sup><i>n</i></sup> начинается числом 5<sup><i>k</i></sup>, а десятичная запись числа 5<sup><i>n</i></sup> начинается числом 2<sup><i>k</i></sup>?
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что десятичная запись числа 2<sup><i>n</i></sup> начинается цифрой 5, а десятичная запись числа 5<sup><i>n</i></sup> начинается цифрой 2?
Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру <i>k</i> раз, и все <i>k</i> раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение <i>k</i>.
Для каждого натурального числа <i>n</i> обозначим через <i>O</i>(<i>n</i>) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
<i>х</i><sub>1</sub> = <i>а</i> и <i>х</i><sub>2</sub> = <i>b</i>. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: <i>x<sub>n</sub> = O</i>(<i>х</i><sub><i>n</i>–1</sub> + <i>х</i><sub><i>n</i>–2</sub>), где <i>n</i> = 3, 4, ... .
а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
б) Как найти это число, зная числа <i>a</i>...