Олимпиадные задачи по математике для 9-11 класса - сложность 3-5 с решениями

На стороне <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i> выбрали точку <i>M</i>. Пусть <i>X, Y, Z</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABM, CMD, AMD</i> соответственно; <i>H_x, H_y, H_z</i> – ортоцентры треугольников <i>AXB, CYD, AZD</i> соответственно. Докажите, что точки <i>H_x, H_y, H_z</i> лежат на одной прямой.

Через вершины <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Точки <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂ симметричны точкам <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ относительно сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA</i>₂, <i>BB</i>₂,...

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точка <i>Q</i> симметрична середине стороны <i>AC</i> относительно <i>AA</i>₁. Точка <i>P</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>QPH</i> = 90°.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>B</i> = 120°.  На продолжениях сторон <i>AB</i> и <i>CB</i> за точку <i>B</i> взяли точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно так, что лучи <i>AQ</i> и <i>CP</i> пересекаются под прямым углом. Докажите, что  ∠<i>PQB</i> = 2∠<i>PCQ</i>.

<i>H</i> – точка пересечения высот <i>AA'</i> и <i>BB'</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, пересекает эти высоты в точках <i>D</i> и <i>E</i>, а сторону <i>AB</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>DEH</i> лежит на отрезке <i>CP</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>I</i> – центр вписанной окружности, точки <i>I_A</i>, <i>I_C</i> – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>II_AI_C</i>. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AC</i>.

Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника <i>ABC</i>, касающейся катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₀ и <i>A</i>₀ соответственно. Перпендикуляр, опущенный из <i>A</i>₀ на прямую <i>AI</i>, и перпендикуляр, опущенный из <i>B</i>₀ на прямую <i>BI</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> перпендикулярны.

Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$; $I_a$ – центр вневписанной окружности, соответствующей вершине $A$; $I'_a$ – точка, симметричная $I_a$ относительно прямой $AA_1$. Аналогично построим точки $I'_b$, $I'_c$. Докажите, что прямые $A_1I'_a$, $B_1I'_b$, $C_1I'_c$ пересекаются в одной точке.

Биссектрисы $AA_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$, в котором $\angle B=60^{\circ}$, пересекаются в точке $I$. Описанные окружности треугольников $ABC$, $A_1IC_1$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ проходит через середину стороны $AC$.

Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ – основания высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, вписанная в треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$, касается сторон $A_{1}B_{1}, A_{1}C_{1}, B_{1}C_{1}$ в точках $C_{2}, B_{2}, A_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой Эйлера треугольника $ABC$.

Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

Высоты <i>AA</i>₁, <i>CC</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H.  H_A</i> – точка симметричная <i>H</i> относительно <i>A.  H_AC</i>₁ пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C'</i>; аналогично определяется точка <i>A'</i>. Докажите, что  <i>A'C' || AC</i>.

<i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC,  B</i>₀ – точка пересечения <i>BB</i>₁ и описанной окружности Ω, <i>Q</i> – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>B</i>₀. Докажите, что <i>BQ</i> – симедиана треугольника <i>ABC</i>.

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>ABC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно. Описанная окружность треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ пересекает прямые <i>B</i>₁<i>A</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольник...

По стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> движется точка <i>X</i>, а по описанной окружности Ω – точка <i>Y</i> так, что прямая <i>XY</i> проходит через середину дуги <i>AB</i>. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>IXY</i>, где <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – середины гипотенузы <i>AB</i> и катета <i>BC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> соответственно. Вневписанная окружность треугольника <i>ACM</i> касается стороны <i>AM</i> в точке <i>Q</i>, а прямой <i>AC</i> – в точке <i>P</i>. Докажите, что точки <i>P</i>, <i>Q</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I_b</i> и <i>I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI_bI_c</i>.

Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что  <i>O</i>₁<i>M = O</i>₂<i>M</i>.

На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что  ∠<i>MAN</i> = 30°.  Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.

Пусть <i>BM</i> – медиана прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°).  Окружность, вписанная в треугольник <i>ABM</i>, касается сторон <i>AB, AM</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂; аналогично определяются точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и <i>C</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются на биссектрисе угла <i>ABC</i>.

На гипотенузе <i>AC</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку такую <i>C</i>₁, что  <i>BC = CC</i>₁.  Затем на катете <i>AB</i> отметили такую точку <i>C</i>₂, что

<i>AC</i>₂ = <i>AC</i>₁;  аналогично определяется точка <i>A</i>₂. Найдите угол <i>AMC</i>, где <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₂<i>C</i>₂.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> произвольно выбрана точка <i>D</i>. Касательная, проведённая в точке <i>D</i> к описанной окружности треугольника <i>BDC</i>, пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>C</i>₁; аналогично определяется точка <i>A</i>₁. Докажите, что  <i>A</i>₁C₁ || <i>AC</i>.

На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i>₁; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i>₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ движется по прямой.

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω₁ касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω₂ – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω₂ в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MQ || AL</i>.

Точки <i>M, N</i> – середины диагоналей <i>AC, BD</i> прямоугольной трапеции <i>ABCD</i>  (∠<i>A</i> = ∠<i>D</i> = 90°).  Описанные окружности треугольников <i>ABN, CDM</i> пересекают прямую <i>BC</i> в точках <i>Q, R</i>. Докажите, что точки <i>Q, R</i> равноудалены от середины отрезка <i>MN</i>.