Олимпиадные задачи из источника «Рамблер-Наука - задача дня (www.nature.ru)» для 11 класса - сложность 1-2 с решениями

Десятичная запись натурального числа <i>a</i> состоит из <i>n</i> цифр, а десятичная запись числа <i>a</i>³ состоит из <i>m</i> цифр. Может ли  <i>m + n</i>  равняться 2001?

Имеется 19 гирек весов 1, 2, 3, ..., 19 г: девять железных, девять бронзовых и одна золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше общего веса бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: <i>AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH</i> (на рисунке приведена схема соединения рёбер)? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97791/problem_97791_img_2.gif"></div>

Квадратная таблица в <i>n</i>² клеток заполнена числами от 1 до <i>n</i> так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если <i>n</i> нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., <i>n</i>. Доказать.

Докажите, что для составного числа 561 справедлив аналог малой теоремы Ферма: если  (<i>a</i>, 561) = 1,  то  <i>a</i>⁵⁶⁰ ≡ 1 (mod 561).

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой две противоположные боковые грани перпендикулярны основанию?

Даны многочлены <i>P</i>₁, <i>P</i>₂, ... , <i>P</i>₅, имеющие суммы коэффициентов, равные 1, 2, 3, 4, 5 соответственно.

Найдите сумму коэффициентов многочлена  <i>Q</i> = <i>P</i>₁<i>P</i>₂...<i>P</i>₅.

В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.

Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.

Существует ли отличный от куба шестигранник, у которого все грани являются равными ромбами?

В пространстве дана плоскость П и точки A и B по одну сторону от П (AB не параллельно П). Рассматриваются сферы, проходящие через точки A и B, касающиеся плоскости П. Докажите, что точки касания этих сфер и плоскости П лежат на одной окружности.

Докажите, что графики функций  <i>y = x</i>²  и  <i>y</i> = 2<i>x</i>²  являются подобными фигурами.

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Найдите все конечные множества точек на плоскости, обладающие таким свойством: никакие три точки множества не лежат на одной прямой и вместе с каждыми тремя точками данного множества ортоцентр треугольника, образованного этими точками, также принадлежит данному множеству.

Повесьте картину на веревочке на два гвоздя так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей картина падала.

Выписаны в ряд числа от 1 до 2002. Играют двое, делая ходы поочередно. За один ход разрешается вычеркнуть любое из записанных чисел вместе со всеми его делителями. Выигрывает тот, кто зачеркнёт последнее число. Докажите, что у первого игрока есть способ играть так, чтобы всегда выигрывать.

Можно ли через вершины куба провести 8 параллельных плоскостей так, чтобы расстояния между соседними плоскостями были равны?

Любой ли трехгранный угол можно так пересечь плоскостью, что в сечении получится правильный треугольник?

В одной из трех коробок лежит приз, две другие коробки пустые. Вы не знаете, в какой из коробок находится приз, а ведущий знает. Вы должны показать на одну из коробок, в которой по Вашему мнению находится приз. После этого ведущий открывает одну из двух оставшихся коробок. Так как он не хочет сразу отдавать приз, он открывает пустую коробку. После этого Вам предлагается окончательно выбрать коробку. Можете ли Вы выиграть приз с вероятностью, большей 1/2?

Можно ли через точку в пространстве провести 7 различных прямых так, чтобы для каждых двух из них нашлась третья, которая перпендикулярна им обеим?

Куб разбит двумя способами на тетраэдры с вершинами в вершинах данного куба.

Верно ли, что в обоих случаях количество тетраэдров одно и то же?

Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?

Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).

Известно, что  <i>x</i> + 2<i>y</i> + 3<i>z</i> = 1.  Какое минимальное значение может принимать выражение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>²?

Какое максимальное число ребер правильной n-угольной призмы может пересекать плоскость, не проходящая через вершины призмы?