Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Конечные разности» для 10 класса

<b>Дискретная теорема Лиувилля.</b>Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>) функция, то есть существует положительная константа<i>M</i>такая, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \forall$(<i>x</i>, <i>y</i>) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$²    | <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)| $\displaystyle \leqslant$ <i>M</i>. </div>Докажите, что функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) равна константе.

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — гармоническая функция (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>). Докажите, что функции$\Delta_{x}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>+ 1,<i>y</i>) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и$\Delta_{y}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+ 1) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) также будут гармоническими.

<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...

Для каких натуральных<i>n</i>в выражении<div align="CENTER"> ±1²±2²±3²±...±<i>n</i>² </div>можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Докажите, что при всех натуральных <i>n</i> число   <i>f</i> (<i>n</i>) = 2^{2<i>n</i>–1} – 9<i>n</i>² + 21<i>n</i> – 14   делится на 27.

  а) Пусть <i>q</i> – натуральное число и функция   <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>cq^x</i> + <i>a_nxⁿ</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₀  принимает целые значения при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.

Докажите, что при любом натуральном <i>x</i> число  <i>f</i>(<i>x</i>) также будет целым.

  б) Пусть выполняются условия пункта а) и  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на некоторое целое  <i>m</i> ≥ 1  при  <i>x</i> = 0, 1, 2, ..., <i>n</i> + 1.  Докажите, что  &l...

Докажите, что если многочлен  <i>f</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> принимает целые значения в точках  <i>x</i> = 0, 1, ..., <i>n</i>,  то он принимает целые значения во всех целых точках.

Для многочлена  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ – <i>x</i>  найдите Δ²<i>f</i>(<i>x</i>).

Объясните, не применяя соображения делимости, почему  <i>f</i>(<i>x</i>) делится на 6 при всех целых <i>x</i>.

Пусть многочлен <i>f</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> принимает целые значения в точках  <i>x</i> = 0, 1, ..., <i>n</i>.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61449/problem_61449_img_2.gif">   где  <i>d</i>₀, <i>d</i>₁, ..., <i>d_n</i>  – некоторые целые числа.

а) Докажите, что для любого многочлена <i>f</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> существует единственное представление его в виде <div align="center"><img src="/storage/problem-media/61448/problem_61448_img_2.gif"></div>Биномиальный коэффициент   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61448/problem_61448_img_3.gif">   интерпретируется как многочлен от переменной<i>x</i>. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.б) Докажите, что коэффициенты  <i>d</i>₀, <i>d</i>₁, ..., <i>d_n</i>  в этом представлении вычисляются по фор...

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы: а)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>²<i>q</i>^{k - 1}; б)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>sin <i>kx</i>; в)$\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>²cos <i>kx</i>.

Найдите : <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)}}$;    </td> <td align="LEFT">д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$${\dfrac{1}{k^2-1}}$;    </td> <td align="LEFT">е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{k-1}{k!}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$;    </td> <td align="LEFT"> ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>! <i>k</i>.</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{(k-1),2^k}{k(k+1)}}$;&lt...

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>2ⁿ. (Вспомните как вычисляют$\int$<i>xe</i>^x d<i>x</i>.)

<b>Преобразование Абеля.</b>Для подсчета интегралов используется формула интегрирования по частям. Докажите следующие две формулы, которые являются дискретным аналогом интегрирования по частям и называются преобразованием Абеля:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>f</i> (<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) = <i>f</i> (<i>n</i>)$\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$<i>g</i>(<i>x</i>) - $\displaystyle \sum\limits_{x=0}^{n-1}$($\displaystyle \Delta$<i>f</i> (<i>x</i>)$\displaystyle \sum\limits_{z=0}^{x}$<i>g</i>(<i>z</i>)...

Экспонентой<i>y</i>=<i>e</i>^xназывается такая функция, для которой выполнены условия<i>y'</i>(<i>x</i>) =<i>y</i>(<i>x</i>) и<i>y</i>(0) = 1. Какая последовательность {<i>a</i>_n} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор$\Delta$?

Найдите представление для$\Delta$(<i>a</i>_n^.<i>b</i>_n) через$\Delta$<i>a</i>_nи$\Delta$<i>b</i>_n. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

Докажите следующие свойства оператора взятия конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования: а) $\Delta$${\dfrac{1}{b_n}}$= -${\dfrac{\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$;        б) $\Delta$$\left(\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right.$${\dfrac{a_n}{b_n}}$$\left.\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)$=${\dfrac{b_n\Delta a_n-a_n\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$.

Пусть числа  <i>y</i>₀, <i>y</i>₁, ..., <i>y_n</i>  таковы, что для любого многочлена  <i>f</i> (<i>x</i>) степени  <i>m < n</i>  справедливо равенство:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61440/problem_61440_img_2.gif">     (*)

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61440/problem_61440_img_3.gif"> ,   где λ – некоторое фиксированное число.

Докажите, что для всех<i>m</i>в промежутке1$\leqslant$<i>m</i><<i>n</i>выполняется равенство:<div align="CENTER"> $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}$(- 1)^k<i>k</i>^m<i>C</i>_n^k = 0. </div>

Вычислите сумму<div align="CENTER"> $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$<i>C</i>_n^k(- 1)^k$\displaystyle \left(\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right.$1 - $\displaystyle {\dfrac{k}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1-\dfrac{k}{n}}\right)^{n}_{}$. </div>

Пусть  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>m</i>. Докажите, что если  <i>m</i> < <i>n</i>,  то  Δ<i>ⁿf</i>(<i>x</i>) = 0.  Чему равна величина Δ<i>^mf</i>(<i>x</i>)?

Докажите равенство<div align="CENTER"> <i>f</i> (<i>x</i> + <i>n</i>) = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$<i>C</i>_n^k$\displaystyle \Delta^{k}_{}$<i>f</i> (<i>x</i>). </div>

Докажите формулу<div align="CENTER"> $\displaystyle \Delta^{n}{}$<i>f</i> (<i>x</i>) = $\displaystyle \sum\limits{k=0}^{n}$<i>C</i>_n^k(- 1)^{n - k}<i>f</i> (<i>x</i> + <i>k</i>). </div>

Докажите, что для любого многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>m</i> существует единственный многочлен <i>Q</i>(<i>x</i>) степени  <i>m</i> + 1 , для которого  Δ<i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>x</i>)  и  <i>Q</i>(0) = 0.

Докажите, что если <i>Q</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>m</i> + 1,  то  <i>P</i>(<i>x</i>) = Δ<i>Q</i>(<i>x</i>)  – многочлен степени <i>m</i>.