Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания» для 11 класса
параграф 3. Размещения, перестановки и сочетания
НазадНайдите суммы рядов а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_2.gif">
б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_3.gif">
в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60427/problem_60427_img_4.gif"> (<i>r</i> ≥ 2).
Найдите сумму (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a> про треугольник Лейбница):
<sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ...
и обобщите полученный результат.
Докажите равенства (см. <i>треугольник Лейбница</i>, задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160424">160424</a>): а) 1 = <sup>1</sup>/<sub>2</sub> + <sup>1</sup>/<sub>6</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>20</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + ... ; б) <sup>1</sup>/<sub>2</sub> = <sup>1</sup>/<sub>3</sub> + <sup>1</sup>/<sub>12</sub> + <sup>1</sup>/<sub>30</sub> + <sup>1</sup>/<sub>60</sub> + <sup>1</sup>/<sub>105</sub> + ... ; в) <sup>1</sup>/<sub>3&...
Какое слагаемое в разложении (1 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60420/problem_60420_img_2.gif">)<sup>100</sup> по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
Найдите <i>m</i> и <i>n</i> зная, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60419/problem_60419_img_2.gif">
В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.
Докажите тождества: а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif"> г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif"> д) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif"> – это количест...
Вычислите суммы: a) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60412/problem_60412_img_4.gif">
Придумайте какой-нибудь способ достроить треугольник Паскаля вверх.
Докажите, что в равенстве (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>m</sub></i>)<sup><i>n</i></sup> = <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_2.gif"> коэффициенты <i>C</i>(<i>k</i><sub>1</sub>,..., <i>k<sub>m</sub></i>) могут быть найдены по формуле <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60400/problem_60400_img_3.gif">
Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении а) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_3.gif">)<sup>100</sup>; б) (<img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_2.gif"> + <img width="26" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60389/problem_60389_img_4.gif">)<sup>300</sup>...
Докажите справедливость формулы <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60388/problem_60388_img_2.gif">