Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Разложение на множители» для 3-9 класса

Решите уравнения:

   a)  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>a</i>²<i>x</i>² – 2<i>a</i>²<i>x</i> + 2<i>a</i>⁴ = 0;

   б)  <i>x</i>³ – 3<i>x</i> = <i>a</i>³ + <i>a</i>^–3.

Найдите рациональные корни многочленов:

  а)  <i>x</i>⁵ – 2<i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 5<i>x</i> + 6;

  б)  <i>x</i>⁵ + <i>x</i>⁴ – 6<i>x</i>³ – 14<i>x</i>² – 11<i>x</i> – 3.

Докажите, чтоcos 20^<tt>o</tt> — число иррациональное.

Выведите из теоремы <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161013">161013</a> то, что <img width="33" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61014/problem_61014_img_2.gif">  – иррациональное число.

Докажите, что если  (<i>p, q</i>) = 1  и  ^<i>p</i>/_<i>q</i>  – рациональный корень многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_nxⁿ</i> + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с целыми коэффициентами, то

  а)  <i>a</i>₀ делится на <i>p</i>;

  б)  <i>a_n</i> делится на <i>q</i>.

Докажите, что если  <i>a + b + c</i> = 0,  то   2(<i>a</i>⁵ + <i>b</i>⁵ + <i>c</i>⁵) = 5<i>abc</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²).

Докажите, что если три числа <i>a, b, c</i> связаны соотношением  ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i> = ¹/_<i>a+b+c</i>,  то какие-либо два из этих чисел в сумме дают 0.

Пусть <i>a, b, c</i> — попарно различные числа. Докажите, что выражение  <i>a</i>²(<i>c – b</i>) + <i>b</i>²(<i>a – c</i>) + <i>c</i>²(<i>b – a</i>)  не равно нулю.

Докажите, что при нечетном <i>m</i> выражение  (<i>x + y + z</i>)^<i>m</i> – <i>x^m – y^m – z^m</i>  делится на  (<i>x + y + z</i>)³ – <i>x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³.

Упростите выражение:  <img width="190" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61008/problem_61008_img_2.gif">.

Докажите, что многочлен  <i>x</i>⁴ + <i>px</i>² + <i>q</i>  всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени.

Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен  <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> + 12?

Разложите на множители с действительными коэффициентами многочлены:

<table> <tr><td align="LEFT">а) <i>x</i>⁴ + 4;</td> <td align="LEFT"> ж) (<i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i>)³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – <i>c</i>³;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) 2<i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> – 1;</td> <td align="LEFT">з) (<i>x</i> – <i>y</i>)⁵ + (<i>y</i> - <...