Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Уравнения и системы» для 7-9 класса - сложность 1-2 с решениями
Имеется система уравнений *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0, *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.
Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.
Составьте систему, состоящую из двух линейных уравнений, для которой строки (1, 1, 1, 1) и (1, 2, 2, 1) служат решениями.
Может ли система линейных уравнений с действительными коэффициентами иметь в точности два различных решения?
Решите системы уравнений. Для каждой из них выясните, при каких значениях параметров система не имеет решений, а при каких имеет бесконечно много решений. а) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="130" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_3.gif">б) <img width="18" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61344/problem_61344_img_2.gif"><img width="138" height="54" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/...
За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л. Сколько молока было первоначально в кружках, если
а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?
б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?
На рисунках изображены разбиения прямоугольников на квадраты. Найдите стороны этих квадратов, если в первом случае сторона наименьшего квадрата равна 1, а во втором — 2. а) <img width="105" height="89" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_2.gif" alt="\begin{picture} (75,65)\put(0,0){\line(1,0){65}}\put(0,55){\line(1,0){65}} \pu... ...e(0,1){20}}\put(65,0){\line(0,1){55}} \put(30,20){\line(0,1){35}} \end{picture}">
б) <img width="111" height="98" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61342/problem_61342_img_3.gif" alt="\begin{picture} (55,65)\put(0,0){\line(1,0){69}}\put(0,61){\line(1,0){69}}\put(... ...(0,1){25...
Решите системы а) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_2.gif"><img width="190" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_3.gif">б) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_4.gif"><img width="203" height="92" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61341/problem_61341_img_5.gif"> в) <img width="20" height="92" align="MIDDLE" border="0"...
Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошёл Коля Васин?
Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные <i>n</i>-угольники. Обозначим их периметры через <i>P<sub>n</sub></i> (для описанного) и <i>p<sub>n</sub></i> (для вписанного).
а) Найдите <i>P</i><sub>4</sub>, <i>p</i><sub>4</sub>, <i>P</i><sub>6</sub> и <i>p</i><sub>6</sub>.
б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения: <i>P</i><sub>2<i>n</i></sub> = <img width="63" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61335/problem_61335_img_2.gif">, <i>p</i&...
Решите уравнение$\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$=<i>x</i>.
Докажите, что для монотонно возрастающей функции<i>f</i>(<i>x</i>) уравнения<i>x</i>=<i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) и<i>x</i>=<i>f</i>(<i>x</i>) равносильны.
Последовательность чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} задана условиями<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>n + 1</sub> = <i>a</i><sub>n</sub> + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (<i>n</i> $\displaystyle \geqslant$ 1). </div>Верно ли, что эта последовательность ограничена?
Геометрической интерпретацией итерационного процесса служит<i>итерационная ломаная</i>. Для ее построения на плоскости<i>Oxy</i>рисуется график функции<i>f(x)</i>и проводится биссектриса координатного угла — прямая<i>y</i>=<i>x</i>. Затем на графике функции отмечаются точки<i>A<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,f(x<sub>0</sub>))</i>,<i>A<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,f(x<sub>1</sub>))</i>,...,<i>A<sub>n</sub>(x<sub>n</sub>,f(x<sub>n</sub>))</i>,... а на биссектрисе координатного угла — точки<i>B<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>,x<sub>0</sub>)</i>,<i>B<...
Решите систему: $\left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=... ...box{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array} }\right.$$\begin{array}{rcl} \hbox{\rm tg\ }x\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&3,\ \hbox{\rm tg\ }y\cdot\hbox{\rm tg\ }z&=&6,\ x+y+z&=&\pi. \end{array}$
Среди всех решений системы
<i>x</i>² + <i>y</i>² = 4,
<i>z</i>² + <i>t</i>² = 9,
<i>xt + yz</i> = 6
выберите те, для которых величина <i>x + z</i> принимает наибольшее значение.
Решите систему
<i>x</i>² + <i>y</i>² = 1,
4<i>xy</i>(2<i>y</i>² – 1) = 1.
Докажите, что если <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, <i>x</i><sub>3</sub> – корни уравнения <i>x</i>³ + <i>px + q</i> = 0, то <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61267/problem_61267_img_2.gif">
Решите уравнение <i>x</i>³ + <i>x</i> – 2 = 0 подбором и по формуле Кардано.
Докажите, что (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² – <i>ab – bc – ac</i>)(<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² – <i>xy – yz – xz</i>) = <i>X</i>² + <i>Y</i>² + <i>Z</i>² – <i>XY – YZ – XZ</i>, если <i>X = ax + cy + bz, Y = cx + by + az, Z = bx + ay + cz</i>.
Выразите через <i>a</i> и <i>b</i> действительный корень уравнения <i>x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i> = 0.
Найдите представления для двух комплексных корней этого уравнения.
Разложите многочлен <i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³ – 3<i>abc</i> на три линейных множителя.
Какими должны быть числа <i>a</i> и <i>b</i>, чтобы выполнялось равенство <i>x</i>³ + <i>px + q = x</i>³ – <i>a</i>³ – <i>b</i>³ – 3<i>abx</i>?
Докажите, что уравнение <i>x</i>³ + <i>ax</i>² – <i>b</i> = 0, где <i>a</i> и <i>b</i> вещественные и <i>b</i> > 0, имеет один и только один положительный корень.
Решите уравнение <i>x</i>³ + <i>x</i>² + <i>x</i> = – <sup>1</sup>/<sub>3</sub>.
Докажите равенство <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61255/problem_61255_img_2.gif"> + <img width="70" height="42" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61255/problem_61255_img_3.gif"> = 1.