Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Неравенства для площади треугольника» - сложность 3-5 с решениями

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что площадь одного из треугольников <i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>не превосходит: а) <i>S</i>_ABC/4; б) <i>S</i>_A₁B₁C₁.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты произвольные точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Пусть <i>a</i>=<i>S</i>_AB₁C₁,<i>b</i>=<i>S</i>_A₁BC₁,<i>c</i>=<i>S</i>_A₁B₁Cи <i>u</i>=<i>S</i>_A₁B₁C₁. Докажите, что<div align=&q...

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке. Докажите, что <i>S</i>_A₁B₁C₁/<i>S</i>_ABC$\leq$1/4.

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>a'</i>,<i>b'</i>,<i>c'</i>— длины сторон треугольников<i>ABC</i>и<i>A'B'C'</i>,<i>S</i>и<i>S'</i>— их площади. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>a</i>²(- <i>a'</i>² + <i>b'</i>² + <i>c'</i>²) + <i>b</i>²(<i>a'</i>² - <i>b'</i>² + <i>c'</i>²) + <i>c</i><sup>2</...

Докажите, что а) <i>S</i>³$\leq$($\sqrt{3}$/4)³(<i>abc</i>)²; б) 3<i>h</i>_a<i>h</i>_b<i>h</i>_c$\leq$43$\sqrt{S}$$\leq$3<i>r</i>_a<i>r</i>_b<i>r</i>_c.

Докажите, что <i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²- (<i>a</i>-<i>b</i>)²- (<i>b</i>-<i>c</i>)²- (<i>c</i>-<i>a</i>)²$\geq$4$\sqrt{3}$<i>S</i>.

Докажите, что:

  а)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_2.gif">   б)   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/57463/problem_57463_img_3.gif">