Олимпиадные задачи из источника «глава 12. Вычисления и метрические соотношения» - сложность 3 с решениями

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Квадрат <i>ABCD</i>вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков <i>PQ</i>, где <i>P</i> — основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>D</i>на неподвижную прямую <i>l</i>, а <i>Q</i> — середина стороны <i>AB</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>прямой. Докажите, что при гомотетии с центром <i>C</i>и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника <i>ABC</i>равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника <i>ABC</i>.

Продолжения биссектрис треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>S</i>_ABC/<i>S</i>_A₁B₁C₁= 2<i>r</i>/<i>R</i>, где <i>r</i>и <i>R</i> — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если <i>ctg</i>($\alpha$/2) = (<i>b</i>+<i>c</i>)/<i>a</i>, то треугольник прямоугольный.

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние <i>h</i>. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57646/problem_57646_img_2.gif" border="1"></div>

Пусть <i>E</i> — середина стороны <i>AB</i>квадрата <i>ABCD</i>, а точки <i>F</i>и <i>G</i>выбраны на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>так, что <i>AG</i>|<i>EF</i>. Докажите, что отрезок <i>FG</i>касается окружности, вписанной в квадрат <i>ABCD</i>.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30°  и  ∠<i>MCB</i> = 10°.  Найдите величину угла <i>AMC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведена биссектриса <i>BE</i>и на стороне <i>BC</i>взята точка <i>K</i>так, что $\angle$<i>AKB</i>= 2$\angle$<i>AEB</i>. Найдите величину угла <i>AKE</i>, если $\angle$<i>AEB</i>=$\alpha$.

В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>вдвое больше угла <i>A</i>и <i>b</i>= 2<i>a</i>. Найдите углы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>с прямым углом <i>A</i>на высоте <i>AD</i>как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>K</i>и сторону <i>AC</i>в точке <i>M</i>. Отрезки <i>AD</i>и <i>KM</i>пересекаются в точке <i>L</i>. Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>, если известно, что <i>AK</i>:<i>AL</i>=<i>AL</i>:<i>AM</i>.

Найдите угол <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>, если длина высоты <i>CH</i>равна половине длины стороны <i>AB</i>, а $\angle$<i>BAC</i>= 75^<tt>o</tt>.

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что для непрямоугольного треугольника <i>tg</i>$\alpha$+<i>tg</i>$\beta$+<i>tg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>/(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²- 8<i>R</i>²).

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$+<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\gamma$= 1; б) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$-<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$= 1/(sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$).

Докажите, что ${\frac{1}{r^3}}$-${\frac{1}{r_a^3}}$-${\frac{1}{r_b^3}}$-${\frac{1}{r_c^3}}$=${\frac{12R}{S^2}}$.

Докажите, что <i>r</i>_a<i>r</i>_b+<i>r</i>_b<i>r</i>_c+<i>r</i>_c<i>r</i>_a=<i>p</i>².

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности (неправильного) треугольника <i>ABC</i>, <i>M</i> — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая <i>OM</i>перпендикулярна медиане <i>CC</i>₁тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 2<i>c</i>².

На окружности с диаметром <i>AB</i>взяты точки <i>C</i>и <i>D</i>. Прямая <i>CD</i>и касательная к окружности в точке <i>B</i>пересекаются в точке <i>X</i>. Выразите <i>BX</i>через радиус окружности <i>R</i>и углы $\varphi$=$\angle$<i>BAC</i>и $\psi$=$\angle$<i>BAD</i>.

Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую середины оснований, равны.

Обозначим вершины и точки звеньев (неправильной) пятиконечной звезды так, как показано на рис. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>A</i>₁<i>C</i>^.<i>B</i>₁<i>D</i>^.<i>C</i>₁<i>E</i>^.<i>D</i>₁<i>A</i>^.<i>E</i>₁<i>B</i> = <i>A</i>₁<i>D</i>^.<i>B</i>₁<i>E</i>^.<i>C</i>₁<...

Даны прямые <i>a</i>и <i>b</i>, пересекающиеся в точке <i>O</i>, и произвольная точка <i>P</i>. Прямая <i>l</i>, проходящая через точку <i>P</i>, пересекает прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что величина (<i>AO</i>/<i>OB</i>)/(<i>PA</i>/<i>PB</i>) не зависит от выбора прямой <i>l</i>.

Через точку <i>S</i>проведены прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и <i>d</i>; прямая <i>l</i>пересекает их в точках <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что величина <i>AC</i>^.<i>BD</i>/(<i>BC</i>^.<i>AD</i>) не зависит от выбора прямой <i>l</i>.

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a</i> < <i>b</i>), угол между диагоналями равен <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90^<tt>o</tt>, а угол между продолжениями боковых сторон равен <!-- MATH $45^{\circ}$ --> 45^<tt>o</tt>.