Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема о группировке масс» для 5-10 класса - сложность 1-4 с решениями

На окружности дано <i>n</i>точек. Через центр масс<i>n</i>- 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

В середины сторон треугольника<i>ABC</i>помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника<i>ABC</i>. Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157759">14.12.1</a>совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что<i>BA</i>₁/<i>A</i>₁<i>C</i>=<i>CB</i>₁/<i>B</i>₁<i>A</i>=<i>AC</i>₁/<i>C</i>₁<i>B</i>. Докажите, что центры масс треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпа...

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁так, что прямые<i>CC</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в некоторой точке <i>O</i>. Докажите, что: а)${\frac{CO}{OC_1}}$=${\frac{CA_1}{A_1B}}$+${\frac{CB_1}{B_1A}}$; б)${\frac{AO}{OA_1}}$^.${\frac{BO}{OB_1}}$^.${\frac{CO}{OC_1}}$=${\frac{AO}{OA_1}}$+${\frac{BO}{OB_1}}$+${\frac{CO}{OC_1}}$+ 2$\ge$8.

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Найдите внутри треугольника<i>ABC</i>точку <i>O</i>, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через <i>O</i>и пересекающей сторону<i>AB</i>в точке <i>K</i>и сторону<i>BC</i>в точке <i>L</i>, выполнено равенство<i>p</i>${\frac{AK}{KB}}$+<i>q</i>${\frac{CL}{LB}}$= 1, где <i>p</i>и <i>q</i> — данные положительные числа.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>соответственно, причем<i>AK</i>:<i>KB</i>=<i>DM</i>:<i>MC</i>=$\alpha$и <i>BL</i>:<i>LC</i>=<i>AN</i>:<i>ND</i>=$\beta$. Пусть <i>P</i> — точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>. Докажите, что<i>NP</i>:<i>PL</i>=$\alpha$и <i>KP</i>:<i>PM</i>=$\beta$.

Докажите теорему Чевы (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156799">4.48</a>, б)) с помощью группировки масс.

Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,...,<i>F</i>₁ — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,...,<i>FA</i>произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников<i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁и <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁совпадают.

Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Докажите, что медианы треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.