Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема о группировке масс» для 8-11 класса - сложность 3-5 с решениями

На прямой<i>AB</i>взяты точки <i>P</i>и <i>P</i>₁, а на прямой<i>AC</i>взяты точки <i>Q</i>и <i>Q</i>₁. Прямая, соединяющая точку <i>A</i>с точкой пересечения прямых<i>PQ</i>и <i>P</i>₁<i>Q</i>₁, пересекает прямую<i>BC</i>в точке <i>D</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}}$ = $\displaystyle {\frac{(\overline{BP}/\overline{PA})-(\overline{BP_1}/ \overline{P_1A})}{(\overline{CQ}/\overline{QA})-(\overline{CQ_1}/\overline{Q_1A})}}$. </div>

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁; прямые<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекают прямую<i>AA</i>₁в точках <i>M</i>,<i>P</i>и <i>Q</i>соответственно. Докажите, что: а)<i>A</i>₁<i>M</i>/<i>MA</i>= (<i>A</i>₁<i>P</i>/<i>PA</i>) + (<i&...

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем отрезки<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в точке <i>P</i>. Пусть<i>l</i>_a,<i>l</i>_b,<i>l</i>_c — прямые, соединяющие середины отрезков<i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>CA</i>и <i>C</i><sub>...

На прямых $BC$, $CA$, $AB$ взяты точки $A_1$ и $A_2$, $B_1$ и $B_2$, $C_1$ и $C_2$ так, что $A_1B_2| AB$, $B_1C_2| BC$, $C_1A_2| CA$. Пусть $\ell_a$ — прямая, соединяющая точки пересечения прямых $BB_1$ и $CC_2$, $BB_2$ и $CC_1$; прямые $\ell_b$ и $\ell_c$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $\ell_a$, $\ell_b$ и $\ell_c$ пересекаются в одной точке (или параллельны).

На окружности дано <i>n</i>точек. Через центр масс<i>n</i>- 2 точек проводится прямая, перпендикулярная хорде, соединяющей две оставшиеся точки. Докажите, что все такие прямые пересекаются в одной точке.

В середины сторон треугольника<i>ABC</i>помещены точки, массы которых равны длинам сторон. Докажите, что центр масс этой системы точек расположен в центре вписанной окружности треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника<i>ABC</i>. Замечание. Центр масс системы точек, рассматриваемой в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/157759">14.12.1</a>совпадает с центром масс фигуры, изготовленной из трех тонких стержней одинаковой толщины. Действительно, при нахождении центра масс стержень можно заменить на точку, расположенную в середине стержня и имеющую массу, равную массе стержня. Ясно также, что масса стержня пропорциональна его длине.

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁так, что<i>BA</i>₁/<i>A</i>₁<i>C</i>=<i>CB</i>₁/<i>B</i>₁<i>A</i>=<i>AC</i>₁/<i>C</i>₁<i>B</i>. Докажите, что центры масс треугольников<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁совпа...

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>треугольника<i>ABC</i>взяты точки <i>C</i>₁,<i>A</i>₁и <i>B</i>₁так, что прямые<i>CC</i>₁,<i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁пересекаются в некоторой точке <i>O</i>. Докажите, что: а)${\frac{CO}{OC_1}}$=${\frac{CA_1}{A_1B}}$+${\frac{CB_1}{B_1A}}$; б)${\frac{AO}{OA_1}}$^.${\frac{BO}{OB_1}}$^.${\frac{CO}{OC_1}}$=${\frac{AO}{OA_1}}$+${\frac{BO}{OB_1}}$+${\frac{CO}{OC_1}}$+ 2$\ge$8.

Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника так, что их центр масс остается на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника<i>ABC</i>, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.

Найдите внутри треугольника<i>ABC</i>точку <i>O</i>, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через <i>O</i>и пересекающей сторону<i>AB</i>в точке <i>K</i>и сторону<i>BC</i>в точке <i>L</i>, выполнено равенство<i>p</i>${\frac{AK}{KB}}$+<i>q</i>${\frac{CL}{LB}}$= 1, где <i>p</i>и <i>q</i> — данные положительные числа.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i>соответственно, причем<i>AK</i>:<i>KB</i>=<i>DM</i>:<i>MC</i>=$\alpha$и <i>BL</i>:<i>LC</i>=<i>AN</i>:<i>ND</i>=$\beta$. Пусть <i>P</i> — точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>. Докажите, что<i>NP</i>:<i>PL</i>=$\alpha$и <i>KP</i>:<i>PM</i>=$\beta$.

Докажите теорему Чевы (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156799">4.48</a>, б)) с помощью группировки масс.

Пусть<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник,<i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CD</i>и <i>DA</i>. Докажите, что точка пересечения отрезков<i>KM</i>и <i>LN</i>является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.