Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники» для 8 класса
параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники
Назада) Окружность, проходящая через точку <i>C</i>, пересекает стороны <i>BC</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>в точках <i>A</i><sub>1</sub>и <i>B</i><sub>1</sub>, а его описанную окружность в точке <i>M</i>. Докажите, что $\triangle$<i>AB</i><sub>1</sub><i>M</i>$\sim$$\triangle$<i>BA</i><sub>1</sub><i>M</i>. б) На лучах <i>AC</i>и <i>BC</i>отложены отрезки <i>AA</i><sub>1</sub>и <i>BB</i><sub>1</sub>, равные полупериметру треугольника <i>ABC</i>. <i>M</i> — такая точка его описанной окружности, что <i>CM</i>...
Окружность <i>S</i><sub>1</sub>с диаметром <i>AB</i>пересекает окружность <i>S</i><sub>2</sub>с центром <i>A</i>в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Через точку <i>B</i>проведена прямая, пересекающая <i>S</i><sub>2</sub>в точке <i>M</i>, лежащей внутри <i>S</i><sub>1</sub>, а <i>S</i><sub>1</sub>в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>MN</i><sup>2</sup>=<i>CN</i><sup> . </sup><i>ND</i>.
На высотах треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>и <i>C</i><sub>1</sub>, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что $\triangle$<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>; <i>B</i><sub>2</sub>и <i>C</i><sub>2</sub> — середины высоты <i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что $\triangle$<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub>$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.
а) Стороны угла с вершиной <i>C</i>касаются окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Из точки <i>P</i>, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры <i>PA</i><sub>1</sub>,<i>PB</i><sub>1</sub>и <i>PC</i><sub>1</sub>на прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>. Докажите, что <i>PC</i><sub>1</sub><sup>2</sup>=<i>PA</i><sub>1</sub><sup> . </sup><i>PB</i><sub>1</sub>и<i>PA</i><sub>1</sub>:<i>PB</i><sub>1</sub>=<i>PB</i><sup>2</sup>:<i>PA</i><sup>2</sup>. б...
Дан параллелограмм <i>ABCD</i>с острым углом при вершине <i>A</i>. На лучах <i>AB</i>и <i>CB</i>отмечены точки <i>H</i>и <i>K</i>соответственно так, что <i>CH</i>=<i>BC</i>и <i>AK</i>=<i>AB</i>. Докажите, что: а) <i>DH</i>=<i>DK</i>; б) $\triangle$<i>DKH</i>$\sim$$\triangle$<i>ABK</i>.
Прямая, проходящая через вершину <i>C</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, пересекает основание <i>AB</i>в точке <i>M</i>, а описанную окружность в точке <i>N</i>. Докажите, что <i>CM</i><sup> . </sup><i>CN</i>=<i>AC</i><sup>2</sup>и <i>CM</i>/<i>CN</i>=<i>AM</i><sup> . </sup><i>BM</i>/(<i>AN</i><sup> . </sup><i>BN</i>).
На сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>квадрата <i>ABCD</i>взяты точки <i>E</i>и <i>F</i>так, что $\angle$<i>EAF</i>= 45<sup><tt>o</tt></sup>. Отрезки <i>AE</i>и <i>AF</i>пересекают диагональ <i>BD</i>в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>AEF</sub>/<i>S</i><sub>APQ</sub>= 2.
На дуге <i>BC</i>окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Отрезки <i>AP</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что 1/<i>PQ</i>= 1/<i>PB</i>+ 1/<i>PC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведена высота <i>AH</i>, а из вершин <i>B</i>и <i>C</i>опущены перпендикуляры <i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>на прямую, проходящую через точку <i>A</i>. Докажите, что $\triangle$<i>ABC</i>$\sim$$\triangle$<i>HB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
Прямая <i>l</i>касается окружности с диаметром <i>AB</i>в точке <i>C</i>;<i>M</i>и <i>N</i> — проекции точек <i>A</i>и <i>B</i>на прямую <i>l</i>,<i>D</i> — проекция точки <i>C</i>на <i>AB</i>. Докажите, что <i>CD</i><sup>2</sup>=<i>AM</i><sup> . </sup><i>BN</i>.
На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, причем точка <i>B</i>более удалена от прямой <i>l</i>, касающейся окружности в точке <i>A</i>, чем <i>C</i>. Прямая <i>AC</i>пересекает прямую, проведенную через точку <i>B</i>параллельно <i>l</i>, в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i><sup>2</sup>=<i>AC</i><sup> . </sup><i>AD</i>.
На окружности взяты точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>AC</i><sup> . </sup><i>AD</i>/<i>AM</i>=<i>BC</i><sup> . </sup><i>BD</i>/<i>BM</i>.
Через середину <i>C</i> произвольной хорды <i>AB</i> окружности проведены две хорды <i>KL</i> и <i>MN</i> (точки <i>K</i> и <i>M</i> лежат по одну сторону от <i>AB</i>). Отрезок <i>KN</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>P</i>. Отрезок <i>LM</i> пересекает <i>AB</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PC = QC</i>. <small>Также доступны документы в формате <a href="https://problems.ru/images/problem_52460_img_6.gif">TeX</a></small>
Пятиугольник <i>ABCDE</i> вписан в окружность. Расстояния от точки <i>A</i> до прямых <i>BC, CD</i> и <i>DE</i> равны соответственно <i>a, b</i> и <i>c</i>.
Найдите расстояние от вершины <i>A</i> до прямой <i>BE</i>.