Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 2-11 класса - сложность 3 с решениями

а) Из точки <i>A</i>проведены прямые, касающиеся окружности <i>S</i>в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны <i>BC</i>, лежат на окружности <i>S</i>. б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины <i>B</i>и <i>C</i>любого треугольника <i>ABC</i>и центр <i>O</i>его вписанной окружности, высекает на прямых <i>AB</i>и <i>AC</i>равные хорды.

Четыре прямые образуют четыре треугольника. а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (<i>точка Микеля</i>). б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Внутри треугольника<i>ABC</i>взята точка<i>X</i>. Прямые<i>AX</i>,<i>BX</i>и<i>CX</i>пересекают стороны треугольника в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что если описанные окружности треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>BC</i>₁и<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>пересекаются в точке<i>X</i>, то<i>X</i> — точка пересечения высот треугольника<i>ABC</i>.

Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁движутся по прямым<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>так, что все треугольники<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁подобны одному и тому же треугольнику (треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными). Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁имеет минимальный размер тогда и только тогда, когда перпендикуляры, восставленные из точек<i>A</i>₁,<i&...

а)<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Через вершины <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный. б) Четырехугольник <i>KLMN</i>вписанный и описанный одновременно; <i>A</i>и <i>B</i> — точки касания вписанной окружности со сторонами <i>KL</i>и <i>LM</i>. Докажите, что <i>AK</i>^.<i>BM</i>=<i>r</i>², где <i>r</i> — радиус вписанной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что середины сторон четырехугольника <i>ABCD</i>и проекции точки <i>P</i>на стороны лежат на одной окружности.

<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>P</i>- точка пересечения диагоналей. Докажите, что прямая, проведенная из точки <i>P</i>перпендикулярно <i>BC</i>, делит сторону <i>AD</i>пополам.

Продолжение биссектрисы <i>AD</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>E</i>. Из точки <i>D</i>на стороны <i>AB</i>и <i>AC</i>опущены перпендикуляры <i>DP</i>и <i>DQ</i>. Докажите, что <i>S</i>_ABC=<i>S</i>_APEQ.

На высотах треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁; <i>B</i>₂и <i>C</i>₂ — середины высоты <i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁. Докажите, что $\triangle$<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂$\sim$$\triangle$<i>ABC</i>.

Вершины <i>A</i>и <i>B</i>правильного треугольника <i>ABC</i>лежат на окружности <i>S</i>, а вершина <i>C</i> — внутри этой окружности. Точка <i>D</i>лежит на окружности <i>S</i>, причем <i>BD</i>=<i>AB</i>. Прямая <i>CD</i>пересекает <i>S</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>EC</i>равна радиусу окружности <i>S</i>.

Окружность <i>S</i>касается окружностей <i>S</i>₁и <i>S</i>₂в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂; <i>B</i> — точка окружности <i>S</i>, а <i>K</i>₁и <i>K</i>₂ — вторые точки пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>и <i>A</i>₂<i>B</i>с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂. Докажите, что если прямая <i>K</i>₁<i>K</i>₂касается окружнос...

Окружность <i>S</i>₁касается сторон угла <i>ABC</i>в точках <i>A</i>и <i>C</i>. Окружность <i>S</i>₂касается прямой <i>AC</i>в точке <i>C</i>и проходит через точку <i>B</i>, окружность <i>S</i>₁она пересекает в точке <i>M</i>. Докажите, что прямая <i>AM</i>делит отрезок <i>BC</i>пополам.

Через точку <i>M</i>, лежащую внутри окружности <i>S</i>, проведена хорда <i>AB</i>; из точки <i>M</i>опущены перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на касательные, проходящие через точки <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что величина 1/<i>PM</i>+ 1/<i>QM</i>не зависит от выбора хорды, проходящей через точку <i>M</i>.

Две окружности касаются внутренним образом в точке <i>M</i>. Пусть <i>AB</i> — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке <i>T</i>. Докажите, что <i>MT</i> — биссектриса угла <i>AMB</i>.

В окружность вписаны треугольники <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, причем вершины треугольника <i>T</i>₂являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника <i>T</i>₁. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника <i>T</i>₁и пересекаются в одной точке.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i>вписанный, причем <i>AB</i>||<i>DE</i>и <i>BC</i>||<i>EF</i>. Докажите, что <i>CD</i>||<i>AF</i>.

Две окружности пересекаются в точках<i>P</i>и<i>Q</i>. Третья окружность с центром<i>P</i>пересекает первую окружность в точках<i>A</i>и<i>B</i>, а вторую — в точках<i>C</i>и<i>D</i>. Докажите, что$\angle$<i>AQD</i>=$\angle$<i>BQC</i>.

На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>M</i>и <i>N</i>. Из точки <i>M</i>проведены хорды <i>MA</i>₁и <i>MB</i>₁, перпендикулярные прямым <i>NB</i>и <i>NA</i>соответственно. Докажите, что <i>AA</i>₁||<i>BB</i>₁.

Все углы треугольника <i>ABC</i>меньше 120^<tt>o</tt>. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120^<tt>o</tt>.

В треугольнике <i>ABC</i> углы при вершинах <i>B</i> и <i>C</i> равны 40°, <i>BD</i> – биссектриса угла <i>B</i>. Докажите, что  <i>BD + DA = BC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> не равны. Докажите, что биссектриса угла <i>C</i> делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины <i>C</i>, тогда и только тогда, когда <!-- MATH $\angle C = 90^{\circ}$ --> $\angle$<i>C</i> = 90^<tt>o</tt>.

Пятиугольник <i>ABCDE</i> вписан в окружность. Расстояния от точки <i>A</i> до прямых <i>BC, CD</i> и <i>DE</i> равны соответственно <i>a, b</i> и <i>c</i>.

Найдите расстояние от вершины <i>A</i> до прямой <i>BE</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен <!-- MATH $60^{\circ}$ --> 60^<tt>o</tt>, биссектрисы <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что <i>OD</i> = <i>OE</i>.